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1、 高一数学竞赛辅导六（向量应用）求解平面向量中的数量积问题，主要有这样几种方法：1. 利用向量线性运算，施行向量的转化；2. 建立坐标系转化为代数问题；3. 利用向量数量积的几何意义解决数量积的求解问题。4. 公式法：（极化法）例1 （1）已知平面向量，满足|+|=3, |-|=1, 则=_. （2）已知平面向量，满足|=1, =1, =2, 则|-|的最小值为_. （3）已知平面向量与不共线，若对任意的实数t， 都有|t+(1-t)|，则( )A. B. (-) C. (-) D. (+) 变式1 已知两个向量，的夹角为30，为单位向量，, 则的最小值为 若=0，则= .变式2变式3 14浙
2、江文9设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（ ）A若确定，则|唯一确定 B若确定，则|唯一确定C若|确定，则唯一确定 D若|确定，则唯一确定 变式4 竞赛题已知，若对任意，则一定为（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.答案不确定例2 已知平面向量, 满足|=1, |=2, 且=1,若(-)(-)=0, 则|c|的取值范围为 变式一：已知平面向量, 满足|=1, |=2, 且=1,若(-)(-)=, 则|满足|=1, |=2, 且=1|的最大值为_.变式二：已知平面向量, 满足|满足|=1, |=2, 且=1，,则对任一平面向量，(-)(-)的取
3、值范围是_变式三：已知平面向量, 满足|满足|=1, |=2, 且=1，,若(-)(-)=, 记=，则cos的最小值为_. 变式四：已知平面向量, 满足|满足|=1, |=2, 且=1，若=,则|的最大值为_.例3 在中，M是BC的中点，AM=3，BC=10,则 变式：设,是边AB上一定点，满足,且对于边AB上任一点P，恒有，则 （ ） ABAC AC=BC例4 已知平面向量a, b满足|=1, |=2, 且=1, 若单位向量e=+(0), 则的最大值为_.变式1 四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，OD=3，点P为BOD内（含边界）的动点，则的最大值为 变式2 【2013
4、高考】设为单位向量，非零向量。若的夹角为，则的最大值等于 。变式3 在中，若点在的角平分线上，满足，且，则的取值范围是 OACB变式4 .如图，在扇形中，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）A B C D变式5 （2016年浙江高考）已知向量a、b, a=1，b=2，若对任意单位向量e，均有 ae+be ,则ab的最大值是 例5 【求面积比问题】1、 设D为ABC边AB上一点，P为ABC内一点，且满足则 2、设O点在ABC的内部，且有则 4、 2014省赛若平面上四点A,B,C,D，满足任意三点不共线，且,则 训练题：1、14浙江理7设，为平面向量，则（ ）Amin|，|min|，| Bmin|，|min|，|Cmax|2，|2|2|2 Dmax|2，|2|2|22、已知，是平面只两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 。3、如图所示，为ABC部一点，且满足，且，则的面积为（ ）A B C D 4、向量满足，则的最小值为 （ ）A B C D 5、已知非零向量满足，则的最小值是 ，最大值是 6已知O是 内一点，且，若，则=_ ；的值是_.7、设点是的重心，若， ，则的最小值是 8中，,上的高，,则 .11.设，且，则在上的投影的取值范围是 .12、已知向量的夹角为，向量，的夹角为，则与的夹角为_，的最大值为 （15年省赛16题改编） 5
