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1、分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论预测2017年的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题考点1 分类讨论解决的主要问题分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度考点2
2、 分类讨论的类型1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，
3、由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用考点一、根据数学的概念分类讨论例1设0x1，a0且a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小思路点拨：先利用0x1确定1x与1x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小【规律方法】本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分a0，a0，a0三种情况；直线的斜率分倾斜角90，斜率k存在，倾斜角90，斜率不存在；指数、
4、对数函数yax(a0且a1)与ylogax(a0且a1)可分为a1，0a1两种类型；直线的截距式分直线过原点时为ykx，不过原点时等考点二、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例2在等差数列an中，a11，满足a2n2an，n1，2，(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanpan(p0)，求数列bn的前n项和Tn.思路点拨：(1)由a2n2an，n1，2，求出公差d，即得an的通项公式(2)先求bn的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由a2n2an得a22a12，所以da2a11
5、.又a2nanndann2an，所以ann.【规律方法】(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论 (2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等考点三、根据字母的取值情况分类讨论例3、已知函数f
6、(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切(只需写出结论)?思路点拨：(1)求导数，导数等于0求出x，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；(2)设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果；(3)由(2)容易得出结果【解析】 (2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，
7、整理得：4x6xt30，设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”，g(x)12x212x12x(x1)，g(x)与g(x)的情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值，当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点，当g(1)t10，t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点 当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因
8、为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别为区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1) (3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切； 过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切； 过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切【规律方法】题目中含有参数的问题(含参型)，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二
9、元二次方程表示曲线类型的判定等求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想考点四、根据图形位置或形状变动分类讨论例4 长方形ABCD中，|AB|4，|BC|8，在BC边上取一点P，使|BP|t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|.思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模当0t84时，Q，R两点分别在AB，CD上，对方程，分别令x0和x8，可得Q，R，这时|QR|2；当84t4时，Q，R两点分别在AB，AD上，对
10、方程，分别令x0和y4，可得Q，R，这时|QR| ；【规律方法】一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等【小结反思】1分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结2简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等3进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论其中最重要的一条是“不漏不重” 4解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”
