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1、专题07 三角恒等变换与解三角形（教学案）-2017年高考二轮复习文数和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力1和差角公式(1)cos()coscossinsin；(2)sin()sincoscossin；(3)tan().2倍角公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.3半角公式(1)sin；(2)cos；(3)tan；(4)tan.4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)5余弦定理a2b2c22bccosA，b2a
2、2c22accosB，c2a2b22abcosC.6面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.7解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解8“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.考点一三角函数概念，同角关系及诱导公式例1、(1)(2016高考全国乙卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.【答案】：，tan
3、tantan.如图，不妨设在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B. (2)若tan 0，则()Asin 0Bcos 0Csin 20 Dcos 20【答案】：C【解析】：考点二三角函数的求值与化简例2、(1)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.【答案】：D【解析】：基本法：原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin()公式的展开式又201030，故猜想为sin 30.(2)设，且tan ，则()A3 B3C2 D2【答案】：C【解析
4、】：基本法：由tan 得，即sin cos cos sin cos ，所以sin()cos ，又cos sin，所以sin()sin，又因为，所以，0，因为，所以2，故选C.速解法一：tan ，由tan 知，、应为2倍角关系，A、B项中有3，不合题意，C项中有2.把2代入tan ，题设成立故选C. 1.【2016高考新课标2文数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】 ，且，故选D.2.【2016高考新课标3文数】若 ，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A3.【2016年高考四川文数】= .【答案】【解析】由二倍角公式得1.
5、【2016高考新课标3文数】在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】 2.【2016高考新课标2文数】的内角的对边分别为，若，则 【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，又因为，所以.3.【2016高考天津文数】在ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】由余弦定理得,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .【答案】8.【解析】，又，因即最小值为8.1.【2016年高考四川文数】（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）
6、若，求.【答案】（）证明详见解析；（）4.【解析】（）由已知，b2+c2a2=bc，根据余弦定理，有cos A=所以sin A=由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故tan B=42.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II）若ABC的面积，求角A的大小.【答案】（I）证明见解析；（II）或【解析】（）由得，故有，因为，所以又，所以当时，；当时，综上，或3.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）在A
7、BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）【解析】（）由（）知,所以 ，当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.【2015高考四川，文12】 .【答案】.【解析】法一、.法二、.法三、.【2015高考浙江，文11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】，.【解析】【2015高考天津，文15】（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,.【解析】(I) 由已知，有.所以的最小正周期.(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以在区间
8、上的最大值为，最小值为.【2015高考重庆，文18】 已知函数 （1）求的最小正周期和最大值； （2）讨论在上的单调性.【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.【解析】【2015高考上海，文14】在锐角三角形中，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则 【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此【2015高考广东，文11】设的内角，的对边分别为，若， ，则 . 【答案】【解析】【2015高考湖北，文12】函数的零点个数为 【答案】2【解析】因为 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有
9、2个零点. .【2015高考湖北，文13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【解析】【2015高考重庆，文13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.【2015高考福建，文12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于_【答案】7【解析】由已知得的面积为，所以，所以由余弦定理得，【2015高考新课标2，文17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍() 求；()若，求和的长
10、【答案】()；()【解析】【2015高考浙江，文16】在中，内角，所对的边分别为，已知，=.（1）求的值；（2）若的面积为7，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得，又由，即，得，解得；（2）由，得，又，由正弦定理得，又，故.【2015高考安徽，文16】在中，,点D在边上，求的长.【答案】【解析】【2015高考陕西，文17】（本小题满分12分）的内角，所对的边分别为，向量与平行（I）求；（II）若，求的面积【答案】（I）；（II）【解析】又由，知，所以.故所以的面积为.1. 【2014高考江苏卷第14题】 若的内角满足，则的最小值是 .【答案】【解析】由已知及正弦定理可得
11、，当且仅当即时等号成立.【考点】正弦定理与余弦定理2. 【2014全国1高考文第16题】已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_【答案】【解析】【考点定位】正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式3. 【2014全国2高考文第4题】钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )A. 5 B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.【考点定位】余弦定理及三角形的面积公式、解三角形 4. 【2014山东高考文第12题
12、】在中，已知，当时，的面积为_.【答案】【考点定位】 三角形的面积.5. 【2014高考广东卷文第12题】在中，角、所对应的边分别为、，已知，则 .【答案】.【解析】，由边角互化得，即，即，所以.【考点定位】正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，.6.【2014全国1高考文第8题】设且则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由已知得，去分母得，所以，又因为，所以，即，选C【考点定位】和角的正弦公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式7. 【2014高考福建卷第12题】在中，,则的面积等于_.【答案】【解析】由正弦定理可得.所以的面积等于.【考点定位】正弦定理、三角形的面积.8. 【2014江西高考文第4题】在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【考点定位】余弦定理9. 【2014四川高考文第13题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，）【答案】60
