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1、结构力学简明教程,第八章 影 响 线,第八章 影 响 线,第一节 影响线的概念 第二节 用静力法作简支梁的影响线 第三节 结点荷载作用下梁的影响线 第四节 用机动法作影响线 第五节 影响线的应用 第六节 简支梁的内力包络图与绝对最大弯矩 第七节 连续梁的内力包络图,第一节 影响线的概念,图 8-1,荷载，其大小、方向和作用点都是固定不变的，称为固定荷载。,第二节 用静力法作简支梁的影响线,作静定结构的内力或支座反力的影响线有两种基本作法，一静力法，二机动法。 静力法是先把单位移动荷载F1放在任意位置，以x表示单位移动荷载到所选坐标原点的距离，将单位移动荷载视为固定荷载，通过平衡方程，从而确定所
2、求支座反力和内力的影响函数，作此函数的图像，即为影响线。 1.支座反力的影响线 2.剪力影响线作法 3.弯矩影响线作法,1.支座反力的影响线,(1) 支座反力FRB影响线作法 如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。 (2) 支座反力FRA影响线作法 将FP=1放在任意位置，距A点为x。,(1) 支座反力FRB影响线作法,如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。 由平衡条件 MA=0,FRB/（l-1x）=0 解得FRB=xl (0xl) 这就是FRB的影响线方程。由此方程知，FRB的影响线是一条直线。在A点，x=0，FRA=0。在B点，x=1，FRB=
3、1。利用这两个竖距便可以画出FRB的影响线，如图8-2b所示。,(2) 支座反力FRA影响线作法,将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件 解得 这就是FRA的影响线方程。由此方程知，FRA的影响线也是一条直线。在A点，x=0， FRA=1。在B点，x=1，FRB=0。利用这两个竖距便可以画出FRA的影响线，如图8-2c所示。,图 8-2,(2) 支座反力FRA影响线作法,2.剪力影响线作法,简支梁剪力影响线的简单作法是：在一个简支梁上同时作出FA和-FB的影响线，在所求剪力FQ截面处作一竖线，所截取的两个三角形，即为剪力FQ在此截面的影响线，如图8-2d所示。其他任意截面剪力影响线作法
4、更简便了，将竖线推到什么截面就生成什么截面的剪力影响线。剪力影响线系数为无量纲量。,3.弯矩影响线作法,由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基线，在基线对应所作弯矩影响线截面处作一竖线，其值为ab/l，连接A、B两端，即为此截面弯矩的影响线，如图8-2e所示。 弯矩影响系数其量纲为L，单位为m,3.弯矩影响线作法,【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、MC 、FQD、MD的影响线。 【解】(1)绘制反力FAy、FBy的影响线。取A点为坐标原点，横坐标x向右为正。当荷载F1作用于梁上任一点x时，分别求得反力FAy、FBy的影响线方程为 以上两个方程与相应的简支
5、梁的反力影响线方程完全相同，只是x的取值范围有所扩大而已，因此，只需将相应简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长，即可绘出整个外伸梁的反力FAy和FBy的影响线，分别如图8-3b、c所示。,3.弯矩影响线作法,(2) 绘制剪力FQC、弯矩MC的影响线 当F1作用于截面C以左时，取截面C右边为隔离体，求得影响线方程为 当F1作用于截面以右时，取截面C左边为隔离体，求得影响线方程为 由上可知，FQC和MC的影响线方程也与简支梁的相同。因而与绘制反力影响线一样，只需将相应简支梁的FQC和MC的影响线向两外伸臂部分延长，即可得到外伸梁的FQC和MC的影响线，分别如图8-3d、e图所示。,3.弯矩影响线作
6、法,(3) 绘制剪力FQD、弯矩MD的影响线。当F1作用于截面D以左时，取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为 当F1作用于截面D以右时，仍取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为 若取坐标原点为D，x向右为正，则MD弯矩方程为 由上绘出FQD和MD的影响线分别如图8-3f、g所示。,3.弯矩影响线作法,图 8-3,图 8-4,3.弯矩影响线作法,3.弯矩影响线作法,(1) 荷载类型不同 绘弯矩的影响线时，所受的荷载是单位移动荷载FP1；而绘弯矩图时，所受的荷载则是固定荷载F。 (2) 自变量x表示的含义不同 弯矩影响线方程的自变量x表示单位移动荷载F1的作用位置，而弯矩方程中的自变量x表示的则
7、是截面位置。 (3) 竖距表示的意义不同 MC的影响线中任一点D的竖距表示单位移动荷载F1作用于点D时，截面C上弯矩的大小，即MC的影响线只表示C截面上的弯矩MC在单位荷载移动时的变化规律，与其他截面上的弯矩无关。 (4) 绘制规定不同 MC的影响线中的正弯矩画在基线的上方，负弯矩画在基线的下方，标明正负号。,第三节 结点荷载作用下梁的影响线,(1)支座反力FRA和FRB的影响线 (2)MC的影响线 C点正好是结点。 (3) MD的影响线 MD的影响线如图8-5c所示。 (4) FQCE的影响线 在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力，
8、以FQCE表示。,第三节 结点荷载作用下梁的影响线,图 8-5,(1)支座反力FRA和FRB的影响线,支座反力FRA和FRB的影响线，与图8-2b、c完全相同，在图8-5中没有画出。,(2)MC的影响线,FP=1在C点以右时，利用FRA求MC；FP=1在C点以左时，利用FRB求MC。由此可知，MC的影响线作法与图8-2e完全相同，如图8-5b所示。C点的竖距为,(3) MD的影响线,先假设FP=1直接加于主梁AB，则MD的影响线为一三角形(其中CE段为虚线)。D点的竖距为 由比例可知，C、E两点的竖距为 将C、E两点的竖距连一直线，就得到结点荷载作用下MD的影响线，如图中实线所示。,(3) M
9、D的影响线,为了证明上述作法的正确性，只需注意以下两点： 1)如果单位荷载加在C点或E点，则结点荷载与直接荷载完全相同，所以在结点荷载作用下MD影响线在C点的竖距yC和E点的竖距yE与直接荷载作用下相应的竖距相等。 2)如单位荷载作用在C、E两点之间，其到C点的距离以x表示，则纵梁CE的反力如图8-5d所示。 由此可得结论如下： 1) 在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为一直线。 2) 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影响线。,(4) FQCE的影响线,在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通
10、常称为结间剪力，以FQCE表示。FQCE的影响线如图8-5e所示，是按照上述结论1作出的。,第四节 用机动法作影响线,机动法是以虚功原理为基础，把作内力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。机动法有一个优点：不需经过计算就能很快地绘出影响线的轮廓。因此，对于某些问题，用机动法处理特别方便，例如在确定荷载最不利位置时，往往只需知道影响线的轮廓，而无需求出其数值。另外，用静力法作出的影响线也可用机动法来校核。,第四节 用机动法作影响线,机动法作静定内力或支座反力的影响线的步骤如下： 1) 撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。 2) 使体系沿Z的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移图
11、(P图)，由此可定出Z的影响线的轮廓。 3) 令Z=1，可进一步定出影响线各竖距的数值。 4) 横坐标以上的图形，影响系数取正号；横坐标以下的图形，影响系数取负号。,第四节 用机动法作影响线,图 8-6,图 8-7,第四节 用机动法作影响线,【例8-2】试用机动法作图8-7a所示简支梁弯矩和剪力的影响线。 【解】(1) 弯矩MC的影响线 撤去与弯矩MC相应的约束(即在截面C处改为铰接)，代以一对等值反向力偶MC。这时，铰C的两侧的刚体可以相对转动。 给体系以虚位移，如图8-7b所示。这里，与MC相应的位移Z就是铰C两侧截面的相对转角。利用Z可以确定位移图中的竖矩。由于Z是微小转角，可先求得BB
12、1=Zb。按几何关系，可求出C点竖向位移为ab/lZ。这样，得到的位移图即代表MC的影响线的轮廓。,第四节 用机动法作影响线,为了求得影响系数的数值，再将图8-7b中的位移图除以Z，即得到MC影响线如图8-7c所示，其中C点的影响系数为ab/l。 应当指出，由于虚位移Z是微小值，因此这里只说将P，而不说令相对转角Z=1 rad。换句话说，如果仍采用“令Z=1”的说法，则应理解为令竖向位移中的参数Z等于1，而不是直接令相对转角Z等于1 rad。 (2) 剪力FQC的影响线 撤去截面C处相应于剪力的约束，代以剪力FQC，得图8-7d所示的机构。此时，在截面C处能发生相对的竖向位移，但不能发生相对的
13、转动和水平移动。因此，切口两边的梁在发生位移后保持平行，切口的相对竖向位移即为Z。令Z=1，由三角形几何关系即可确定影响线的各控制点数值(图8-7e)。,第四节 用机动法作影响线,第五节 影响线的应用,影响线是处理移动荷载效应的工具，在此只研究利用影响线求支反力和内力值，确定荷载的最不利位置及最不利荷载等。,第五节 影响线的应用,一、求各荷载作用下的影响 二、求荷载的最不利位置 三、临界位置的判定,一、求各荷载作用下的影响,设有一组集中荷载FP1、FP2、FP3加于简支梁，位置已知如图8-8a所示。如FQC的影响线在各荷载作用点的竖距为y1、y2、y3，则由FP1产生的FQC等于FP1y1，F
14、P2产生的FQC等于FP2y2，FP3产生的FQC等于FP3y3。根据叠加原理，可知，在这组荷载作用FQC的数值为 一般说来，设有一组集中荷载FP1，FP2,，FPn加于结构，而结构某量Z的影响线在各荷载作用处的竖距为y1，y2，yn,则,一、求各荷载作用下的影响,如果结构在AB段承均布荷载q(图8-8b)作用,则微段dx上的荷载qdx可看做集中荷载,它所引起的Z值为yqdx。因此，在AB段均布荷载作用下的Z值为 这里，A0表示影响线图形在受载段AB上的面积。上式表示，均布荷载引起的Z值等于荷载集度乘以受载段的影响线面积。应用此式时，要注意面积A0的正负号。,一、求各荷载作用下的影响,图 8-
15、8,第五节 影响线的应用,【例8-3】图8-9所示为一简支梁，全跨受均布荷载作用。试利用截面C的剪力FQC影响线计算FQC的数值。 【解】FQC的影响线正号部分的面积以A1表示，负号部分的面积以A2表示，则 由式(8-5)得,一、求各荷载作用下的影响,图 8-9,第五节 影响线的应用,【例8-4】利用影响线求图8-10a所示简支梁在图示荷载作用下截面C上剪力FQC的数值。 【解】绘出剪力FQC的影响线，如图8-10b所示。设影响线正号部分的面积为A1，负号部分的面积为A2，则有 剪力FQC的影响线在力F作用点处的竖标y=12。由式(8-4)和式(8-5)，截面C上剪力FQC的数值为,一、求各荷
16、载作用下的影响,图 8-10,第五节 影响线的应用,如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大值，则此荷载位置称为最不利位置。影响线的一个重要作用，就是用来确定荷载的最不利位置。 对于以下简单情况，只需对影响线和荷载特性加以分析和判断，就可定出荷载的最不利位置。其判断的原则是：(1)应当把数量大、排列最密的荷载放在影响线竖距较大的部位；(2)如果移动荷载是单个集中荷载，则最不利位置就是这个集中荷载作用在影响线的竖距最大处；(3)如果移动荷载是一组集中荷载，则在最不利位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点，如图8-11示；(4)如果移动荷载是均布荷载，而且可以按任意方式分布，则其最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正号值)，或者在负号部分布满荷载(求最大负号值)，如图8-12示。,二、求荷载的最不利位置,图 8-11,二、求荷载的最不利位置,图 8-12,第五节 影响线的应用,【例8-5】图8-13a所示为两台吊车的轮压和轮距，试求吊车梁AB在截面C的最大正剪力。 【解】先作出FQC的影响线，并标出荷载对
