海南省2018-2019学年高一下学期段考数学试题（解析版）

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1、2018201820192019 学年度第二学期高一年级数学科段考试题学年度第二学期高一年级数学科段考试题 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 6060 分）分） 1.数列的第 40 项等于( ) A. 9B. 10C. 40D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】 令，解得，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，数列，令，解得， 所以数列的第 40 项是 9，故选 A. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的应用，其中解答中利用数列的通项公式，合理准确计算是解答 的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基

2、础题. 2.已知数列的一个通项公式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 把数列，化简为，利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答案. 【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列，化简为，合理 归纳是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3.在平行四边形中，则当时，该平行四边形为( ) A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】 由，根据向量的运算，求得，得到，即，即可得到答案. 【详解】由题意知，向量满足，即，

3、解得，所以，即，所以平行四边形为矩形，故选 B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算性质的应用，以及四边形形状的判定，其中解答中熟记向量的运算性 质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.如图，中，用表示，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由平面向量基本定理和三角形法则求解即可 【详解】由，可得，则，即. 故选 C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理和三角形法则,熟记定理和性质是解题关键,是基础题 5.在中，已知，则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理，求得，得到，在直角三角形中，应用勾

4、股定理，即可求解. 【详解】由正弦定理，可得，即， 因为，所以， 由勾股定理可得，故选 D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及直角三角形的勾股定理的应用，其中解答中利用正弦定理 求得是解答本题关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6.在中，若，则的形状是( ) A. 钝角三角形B. 直角三角形 C. 锐角三角形D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为 C 是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形，故选 A. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定

5、理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理， 求得角 C 的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.已知数列满足，则( ) A. 53B. 54C. 55D. 109 【答案】C 【解析】 【分析】 由数列满足，即，利用递推关系，即可求解得值，得到答案. 【详解】由题意知，数列满足，即， 所以 ， 又由，所以，故选 C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中熟练应用数列的递推关系式，准确计算是解 答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8.已知非零单位向量满足，则 与的夹角是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解

6、析】 【分析】 由题意利用两个向量的加减法及其几何意义，可得，利用向量的夹角公式，即可求解，得到答案. 【详解】因为非零单位向量满足， 所以，整理得，所以， 则， 所以向量 与的夹角， 又因为，所以，故选 D. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中根据向量的数量 积的运算，求得，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础 题. 9.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、 立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,前九个

7、 节气日影长之和为 85.5 尺,则小满日影长为( ) A. 1.5 尺B. 2.5 尺C. 3.5 尺D. 4.5 尺 【答案】B 【解析】 设各节气日影长依次成等差数列，是其前 项和，则=85.5，所以=9.5，由题知 =31.5，所以=10.5，所以公差=1，所以=2.5，故选 B 10.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是 ，则河流的宽度( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意画出示意图，由两角差的正切求出得正切值，然后通过求解两个直角三角形得到 DC 和 DB 的 长度，即可求解，得到答案. 【详解】如图所示， 又由， 在直

8、角中，所以， 在直角中，所以， 所以 ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中画出示意图，合理利用三角恒等变换的公 式，以及直角三角形的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11.在中， 为的中点，将向量绕点 按逆时针方向旋转得向量， 则向量在向量方向上的投影为（ ） A. -1B. 1C. D. 【答案】C 【解析】 如图，以为轴建立平面直角坐标系， 则，且， 所以向量在向量方向上的投影为. 本题选择 C 选项. 12.已知是等差数列的前 项和,且,给出下列五个命题:； ；数列中最大项为；，其中正确命题的个数是( ) A. 1B. 3C.

9、 4D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知可得，由此逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在等差数列中，满足， 所以可得，所以，所以正确； 又由，所以正确； 又由，则，所以不正确； 由，所以数列为递减数列，且， 可得数列中，当时，当时， 所以数列前 6 项和最大，所以不正确； 由，即，所以正确； 故选 B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的综合应用，其中解答中熟练应用等差数列的性质和前 n 项和公 式，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题二、填空题( (共共 4 4 小题小题

10、, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13.已知，且，则实数_ 【答案】 【解析】 由题意，由，得，解得. 【点睛】设向量， 向量平行的两种方法： （1）的充要条件是； （2）不妨设，的充要条件是存在实数 ，使，即. 第一种方法纯粹地是代数方程，第二种方法是几何方法，对不是坐标表示的向量平行非常适用. 14.已知为等差数列，若 ，则_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据题设条件，求得，得到，即可求得，得到答案. 【详解】由题意，数列为等差数列，且， 根据等差数列的性质，可得，所以， 所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，以及特殊角的三角函数值，其中解答

11、熟练应用等差数列 的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15.的内角的对边分别为，若，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得 cosB 的值，即得 B 角. 【详解】由 2bcosBacosCccosA 及正弦定理，得 2sinBcosBsinAcosCsinCcosA. 2sinBcosBsin(AC) 又 ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB. 又 sinB0，cosB .B. 在ABC 中，acosCccosAb，条件等式变为 2bcosBb，cosB . 又 0B，B. 【点睛】解三角

12、形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和 角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 16.已知函数，若数列满足，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的解析式及数列的递推关系式，求出数列的前 7 项，分析可得数列从第三项开始，组成周期为 3 的数列，即可求解. 【详解】由题意可知，函数，数列满足, 所以， 同理可得 可得从第三项开始是周期为 3 的周期数列，所以， 故

13、答案为： . 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式和函数的综合应用，其中解答中根据数列的递推公式和分段函数 的解析式，得到数列从第三项开始构成周期为 3 的数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于 中档试题. 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17.已知，与 的夹角是 （1）计算：； （2）当 为何值时， 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由题意，可考虑先计算，根据向量数量积公式运算其结果，再求得的值； （2）由两个向量垂直时，其数量积为 0，从而可求得 的值. 试题解析：（1）由已知得： （2） 18.已知是等差数列，是等比数

14、列，且， 求的通项公式； 设，求数列的前n项和 【答案】 （）（） 【解析】 试题分析：（）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到的首项和公差，从而得到其通项 公式；（）首先求得数列的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解 试题解析：（）等比数列 的公比 , 所以， 设等差数列的公差为 ，因为，, 所以，即， 因此 （II）由（I）知， 因此 从而数列的前 项和 考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和 19.等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设 ，求数列的前 项和. 【答案】 （1） （2） 【解析】 试题分析：（）设出等比数列的公比 q，由，利用等比数

15、列的通项公式化简后得到关于 q 的方 程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 ，把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项 公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设 bnlog3a1log3a2log3an，利用对数的运 算性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到 bn 的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后 根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前 n 项和 试题解析：（）设数列an的公比为 q,由9a2a6得9,所以 q2 由条件可知 q0,故 q 由 2a13a21 得 2a13a1q1,所以 a1 故数列an的通项公式为 an （）bnlog3a1log3a2log3an（12n） 故 所以数列的前 n 项和为 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 20.如图，渔船甲位于岛屿 的南偏西方向的 处，且与岛屿 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速 度从岛屿 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追 上 （1）求渔船甲的速度； （2）求的值 【答案】 （1）14 海里/小时 （2） 【解析】 试题分析：解： （4 分） V甲海里/小时 （6 分） 在中， 由正弦定理得 （1