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1、几何体的外接球和内切球一、外接球1. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积2. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_3. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为_4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，这个 长方体的对角线长是_；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为_ 5. 表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()A. B. C. D.6. 三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A. B4C8 D207.
2、 若三棱锥SABC的所有的顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SAAB2，AC4，BAC，则球O的表面积为_8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是()来源:学科网A. B.C2 D49. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_10. 已知A，B，C是球O的球面上三点，AB2，AC2，ABC60，且三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为_11. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.C. D.12. 已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三
3、棱柱的外接球的表面积为12，则该三棱柱的体积为_13. 四面体ABCD中，若ABCD，ACBD，ADBC2，则四面体ABCD的外接球的体积是_14. 正四棱锥的底面边长与各侧棱长都为，点、都在同一球面上，则该球的体积为_来源:学科网ZXXK15. 已知表面积为4的球有一内接四棱锥，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA平面ABCD，则四棱锥SABCD的体积为_16. 已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D25617. 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为
4、，则球的表面积和体积的比为_18. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比二、内切球1. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. B. C. D.2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A1 B13C13 D193. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积4. 若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_6. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下
5、底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_7. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？来源:学科网ZXXK8. 设圆锥的底面半径为，高为，求：（1）内接正方体的棱长；（2）内切球的表面积来源:学科网ZXXK参考答案几何体的外接球和内切球一、外接球1. 略2. 略3. 解析设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则解得外接球半径为，外接球表面积为429.4. 略5. 如图所示，将正四面体补形成一个正方体设正四面体的棱长为a.正四面体的表面积为，4a2，解得
6、a，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，2R，R，球的体积为3，故选A.6. 解析：选C由题意得，此三棱锥外接球即以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28.7. 解析：由题意，得三棱锥SABC是长方体的一部分(如图所示)，所以球O是该长方体的外接球，其中SAAB2，AC4，设球的半径为R，则2R2，所以球O的表面积为4R220.答案：208. 解析：选A由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在底面的射影落在底面直角三
7、角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积VR3.9. 解析：如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC4.在RtAOO1中，R2(4R)222，所以R，所以球的表面积S4R225.答案：2510. 解析：AB2，AC2，ABC60，在ABC中，由正弦定理，得，解得sin C，又0C120，C30，A90，BC4，A，B，C是球O的球面上三点，ABC外接圆的圆心为BC的中点，故ABC外接圆的半径为2.设球心O到平面ABC的距离为d，三棱锥OABC的体积为，22d，d2，球
8、O的半径R2，球O的表面积为4R248.答案：4811. 解析：选B设圆柱的底面半径为r，则r2122，所以圆柱的体积V1.12. 解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OAR，由4R212，得ROA，又易得AM，由勾股定理可知，OM1，所以MN2，即棱柱的高h2，所以该三棱柱的体积为()223.答案：313. 解析：作一个长方体，面对角线分别为，2，设长方体的三棱长分别为x，y，z，则则该长方体的体对角线为，则该长方体的外接球即为四面体ABCD的外接球，则外接球的半径为R，体积为V3.答案：14. 【解析】15. 解析：由S球4R24，解得R1
9、，即2R2.四棱锥SABCD的直观图如图所示，其所在的长方体的外接球即四棱锥的外接球，所以SA，所以四棱锥SABCD的体积VS四边形ABCDSA1.答案：16. 解析：选C如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVC AOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大，为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.17. 略18. 【解析】解法一：作正方体对角面的截面，如图所示，来源:Zxxk.Com设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OC.在RtCCO中，由勾股定理得
10、CC2OC2OC2，即a22R2，所以Ra.从而V半球R33a3.又V正方体a3，因此V半球V正方体a3a32.解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，所以Ra.从而V半球R33a3.又V正方体a3，因此V半球V正方体a3a32.二、内切球1. 答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体
11、积是13.2. 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为，其体积比为3313.3. 【解析】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.4. 解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案：5. 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面ABC及其内切圆O1和外接圆O2，且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意知O1的半径为r1，即ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，故V333.答案：36. 解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以.答案：7. 略8. 略
