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1、要求：会用其性质与展开定理，,计算低阶及特殊的行列式。,一、行列式,两个重要概念：,余子式, 代数余子式,上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积,性质,是计算行列式的中心环节，,利用性质将行列式化为三角形行列式，,然后计算是计算行列式的重要方法。,展开定理及其应用,利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低,一阶行列式的计算。,特殊关系式,例题,解,计算下列行列式,解方程,此为范德蒙行列式,例题,二、矩阵,不能推出,(1),(3),(2),或,不能推出,交换律不成立,消去律不成立,转置矩阵的运算律,一、矩阵运算中注意的几点,特殊矩阵：,若,若,阶梯阵A与行最简阶梯阵B,若,A 为n阶对称矩阵,
2、A 为n阶反对称矩阵,n 阶方阵A可逆的充要条件,n阶方阵A可逆,可逆矩阵,可逆矩阵的性质,设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则,5、求方阵A的逆矩阵的方法,特别：,矩阵的初等变换,初等方阵,（列）变换得到的矩阵，,矩阵A的标准型,1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。,2、秩的基本关系式：,3、关于秩的重要结论：,矩阵的秩,重要结论,定理,秩的求法：,1)R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。,2）初等变换法：,R（A）=T的阶梯数,3）若P可逆，则,常需先验证P可逆,选择题 1,设 A、B 都是 n 阶方阵，则,e,选择题2,（4）,（2）,选择题4,（3）,解,例,例：设方阵
3、 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，,关键：寻求方阵 B，使（A-2E）B = E,分析,原式可写为,（重点）,例：设矩阵 X 满足：AXB = XB+C，求X，其中,由已知，得 AXB-XB=C，,则得,显然A-E、B均可逆，并且,解,（重点）,例,R(A) =2,初等变换,例,（重点）,例,解,三向量组的线性关系,定义,定义 极大无关组、等价,等价定义,（重点）,结论:,2、,。,3、,1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系,注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；,秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩,定理,定理,判别法 1,判别法 2,等价的向量组的
4、秩相等；,部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关,判别法3,例题,DF,例题,BC,设,解,例,重点,(续),其余向量由此极大无关组表示为：,所以,向量4-例题4,解 1),因为行列式,所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；,否则线性无关。,证明,证明,证明,分析：只要证明：B的列秩= m ;,证明,例 设向量组,问 k 为何值时,表示法唯一，,不唯一，,不可表示。,解 设,即,用克莱姆法则,k = - 3 时,表示法唯一，,时,同解方程组,有无穷多解。,时,方程组有唯一解,表示法不唯一，,线性方程组,解的存在性定理,各种解法,解的结构,四、线性方程组的解法与解的结构,定理1 设有非齐
5、次线性方程组,定理1 设有齐次线性方程组（2）,方程组-2-通解、基础解系,方程组-2-通解、基础解系,定理2 设有非齐次线性方程组（1）,讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、,解,系数行列式,所以1):,2):,有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。,（重点）,例,例题3（续）,由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.,2):,则通解为,定理,中两两正交、非零向量组,线性无关。,称,为规范正交基。,定义3,五、内积、施密特正交化。,定义4,是n阶方阵,若,性质2,的列(行)向量组为正交单位向量组,是正交矩阵,性质1,是正交矩阵则A可逆且,设,性质3,设 A、B 都是正交矩阵
6、，,则 AB 也是正交矩阵。,即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。,性质4,设 A 是正交矩阵，则,也是正交矩阵。,性质5,设 A 是正交矩阵，则,3、施密特正交化方法,为线性无关向量组,令,正交化过程：,则,是正交向量组，,单位化,六、特征值与特征向量、矩阵的对角化,内容：,矩阵的特征值与特征向量的定义,求法,性质；,相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法,定义1,使方程,设方阵,成立,数,和 n 元非零列向量,1-特征值、特征向量-求法,1、特征值的求法,2、特征向量的求法,2-特征值、相似矩阵-的性质,性质,全不为零。,3-特征值、相似矩阵-的性质,性质2,例2、3-特征值、
7、相似矩阵,例3 设A是一个方阵,-1,0,0,例4-相似矩阵,设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.,解 1）因为矩阵A、B相似，所以,例4-相似矩阵,设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.,2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值，所以,并且1是B的一个特征值,3-特征向量的性质,1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。,2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相,3）正交向量组必是线性无关组。,互正交。,4-n阶方阵A可对角化的条件、方法,1、一个充分必要条件：,n阶方阵A可对角化,A有n个线性无关的特征向量,2、两个充分条件：,1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对
8、角化,2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。,3、对角化方法：,4、正交对角化,（重点）,（重点）,例1,（1）求,设,相似于,（1）由性质,（2）,（2）,解,例5,三阶实对称矩阵 的特征值分别为,秩,例8,相应的特征向量分别为,已知,求 的值及矩阵,解,秩,有三个不同,特征值,则 可取,的特征向量为,则,七、二次型化标准型-1-基本定义、基本内容,1、二次型二次齐次多项式；,标准型的矩阵对角阵,二次型的矩阵表示,2、二次型的矩阵前提：实对称矩阵；注意元素特点,标准型仅含有平方项的二次型,则二次型的矩阵,二次型及其标准型-2-最重要内容,注1：对线性变换 X = PY来说，当P可逆矩阵时，称之为,可逆变换；当P是正交矩阵时，称之为正交变换,用正交变换 将二次型 化为标准型；,二次型-3-例2,求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型,解 二次型的矩阵为,3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：,
