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1、2018届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1关于、的二元一次方程组的系数行列式为（ ）A B C D 2设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件（ ）A 充分必要 B 充分非必要 C
2、必要非充分 D 非充分非必要3已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）A B C D 4已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）A B C D 二、填空题5已知集合，集合，则_6计算： _.7已知函数，则函数的最小正周期是_.8已知，若与平行，则_.9过点的直线的方向向量，则的方程为_.10已知，则_.11若直线与直线之间的距离是，则_.12设数列满足对任意的，满足，且，则数列的前项和为_.13如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”给出下列函数：；，其中“函数”的序号是_14设为的反函数，则的最大值为_.15对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”
3、，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_16已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是_三、解答题17已知在等比数列中，且是和的等差中项（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前n项和18在中，内角、所对的边分别为、，已知，（1）求的面积；（2）求的值19中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求
4、年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？20已知函数定义域是，且，当时，（1）证明：为奇函数；（2）求在上的表达式；（3）是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由21若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”（）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值（）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由2018届上海市金山中学高三
5、上学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案1C【解析】 关于的二元一次方程组的系数行列式，故选C.2B【解析】【分析】根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【详解】都是不等于的正数，即或解得或或，根据充分必要条件的定义可得“”是“”的充分非必要条件故选【点睛】本题考查了对数函数的性质以及充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是要分类讨论。3B【解析】分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.详解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则，设，则，则，当时，取得最小值.故选：B.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利
6、用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义4A【解析】【分析】设，根据要求的不等式，可以判断的奇偶性极其单调性，容易求出，通过解析式可以判断其单调性，从而原不等式可以变成，再根据的单调性得到关于的一元一次不等式，解出即可得到答案【详解】设，则故是奇函数由解析式易知在上单调递增由可得：，即，解得原不等式的解集为故选【点睛】本题在解不等式时构造新函数，确定新函数的奇偶性和单调性，然后将不等式进行转化，从而计算出结果，本题需要进行化归转化，其答题思想和过程需要掌握5【解析】，6 【解析】由题意，得；故答案为1.7【解析】【分析】，利用周期公式即可得到结果【详解】函数的最小正周期故答案为【点睛】本题主要考
7、查了两角和的正弦公式和周期公式的应用，熟练掌握辅助角公式是解答本题的关键，属于基础题。8【解析】【分析】利用向量平行即可得到答案【详解】，与平行，故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，属于基础题。9【解析】【分析】先根据直线的方向向量求出直线的斜率，用点斜式求直线的方程【详解】直线的方向向量，直线的斜率等于则直线的方程为，即故答案为【点睛】本题主要考查了直线的点斜式方程，解题的关键是直线的方向向量求出直线的斜率，属于基础题。10【解析】【分析】根据题意共有项且各项的分母从变到，故得到的代数式，再用表示【详解】，故答案为【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的
8、递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用。110【解析】【分析】利用两条平行直线间的距离公式可得方程组，解方程组即可得到答案【详解】直线与直线之间的距离是，解得，（负值舍去）则故答案为【点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础12【解析】试题分析：由得以及，故，则，故其前项和，故答案为.考点：数列求和.13【解析】【分析】根据已知条件得到函数是单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论【详解】，同号即函数是单调递增函数是定义在上的增函数，满足条件当时，函数单调递减，不满足条件是定义在上的增函数，满足条件，时，函数单调递增，当时，函数
9、单调递减，不满足条件综上满足“函数”的函数为故答案为【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键，属于中档题。14【解析】【分析】根据是上的单调增函数，且与单调性相同，得出的定义域为，计算的最大值为【详解】是上的单调增函数，且为的反函数，与单调性相同，当时，的最大值为且当时，的定义域为且当时，的最大值为故答案为【点睛】本题主要考查了反函数，关键是反函数与原函数的单调性相同，然后求得最大值15【解析】【分析】由题意，从而求出，可得数列为等差数列，然后将对任意的恒成立化为，即可求出答案【详解】由题意，则，则则，对也成立故则数列为等差数列，故对任意的恒成立化
10、为，即，解得则实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查了等差数列的前项和的最值以及数列的通项公式的求法的问题，在求通项时，题目中的可以看作前项和来求通项16【解析】 当时, 最大值是;当时, 最大值为 当时, ,舍去综上的取值范围是17（）（）【解析】分析：利用已知的两个条件求出公比q,即得数列的通项公式.（2）先求出，再利用分组求和求出数列的前n项和详解：（）设公比为q，则，是和的等差中项，所以解得q=2或q=0（舍），（）则.点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列
11、是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.18（1）；（2）.【解析】【分析】由正弦定理可得，即可求得的值，由余弦定理可得，则，再根据三角形的面积公式即可求得结果由二倍角公式可得，再根据差角公式可得结果【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 又，故， 所以，因为，所以 所以（2）因为，所以，因为，所以为锐角，所以（或由得到，）所以，【点睛】本题主要考查了边角互化，二倍角公式和正弦定理、余弦定理的应用，还考查了三角形面积公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。19（1）（2）90【解析
12、】试题分析：（1）年利润，再根据产量分段求解析式：（2）求分段函数最值，先分段求，再比较大小得最值，当时,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求得：当时, 取得最大值；当时,利用基本不等式求最值：当时, 最大值为，比较大小得当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为万元.试题解析：（1）当时,;当时,.（2）当时, 此时, 当时, 取得最大值, 最大值为(万元); 当时, 当且仅当,即时, 最大值为(万元), 所以, 当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为万元.考点：分段函数求最值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函
13、数解析式是什么. 分段函数最值可以先求各区间段上最值，再综合比较得函数最值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.20（1）证明见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】由可以求得的周期为，再由可证，即可得证为奇函数；时，利用以及，即可证得在上的表达式；任取，则，利用在有解，可得，即可得证【详解】(1),所以的周期为2，所以,所以为奇函数（2）因为，所以当时，（3）任取 所以不存在这样的，使得时，有解【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的判定，具备奇偶性的函数，其定义域必关于原点对称，考查了函数解析式的求解以及解不等式的能力，需要掌握解题方法。21（）见解析;（）;（）见解析.【解析】试题分析： 利用当时， ，当时， 即可得到，再利用“回归数列”的意义即可得出；， ， 为偶数，即可证明数列是“回归数列”利用等差数列的前项和即可得到，对任意，存在，使，取时和根据即可得出结论设等差数列的公差为，构造数列， ，可证明和是等差数列。再利用等差数列的前项和公式及其通项公式，“回归数列”，即可得出；解析：（）当时， ，当时， ，当
