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1、第三讲 图像的变换,信号处理方法：,时域分析法,频域分析法,特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术进行所需的各种图像处理,频率通常是指某个一维物理量随时间变化的快慢程度的度量。频率值高意味着该物理量随时间变化快；频率值低意味着该物理量随时间变化慢。 例如 交流电频率为5060Hz（交流电压） 中波某电台1026千赫（无线电波）,图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，所以图像本身所在的域称为空间域（space domain）。,图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（spatial frequency）。,一维（连续）傅立叶变换 傅立叶变换是一种数学变换（正交
2、变换），可以把一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。,输入信号 = 傅立叶（正）变换 = 频率域信号 函数f(t) 函数F(f) 频率域信号 = 傅立叶反变换 = 输出信号 函数F(f) 函数f(t),傅立叶变换滤波 利用傅立叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通处理），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。,低通滤波：在频率域中抑制高频信号 高通滤波：在频率域中抑制低频信号,每一种变换都有自己的正交函数集，从而引入不同的变换,3.1 连续傅立叶变换 3.2 二维离散傅立叶变换 3.3二维离散傅立叶变换性质 3.4 快
3、速傅立叶变换（FFT） 3.5 离散图像变换的一般表达式 3.6 离散余弦变换 3.7 walsh变换（DWT） 3.8 离散哈达码变换（DHT） 3.9 小波变换,3.1 连续傅立叶变换,条件：如果实变量函数 是连续可积的，即,3.1.1一维连续傅立叶变换,A,X,二维连续函数 的傅立叶变换：,傅立叶变换的相角、傅立叶谱和能量谱或功率谱可由下式给出：,3.1.2 二维连续傅立叶变换,傅立叶谱：,例2：,看傅立叶谱：,3.2 二维离散傅立叶变换,一维离散傅立叶变换：,二维离散傅立叶变换：,M,N表示图像 在x，y方向上具有大小不同的阵列。 离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：,*变换在一个周期
4、内进行,3.3 二维离散傅立叶变换性质,基本性质：,1、可分离性,2、频率位移特性 ：,图像中心化,例：,3、周期性,5、旋转不变性,例：,6、平均值,7、离散卷积定理,为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展,当卷积周期,才避免交叠误差,8、离散相关定理,9、分配性和比例性,傅立叶变换的问题： 1）复数计算而非实数，费时。如采用其它合适的完备正交函数来代替傅立叶变换所用的正、余弦函数构成完备的正交函数系，可避免这种复数运算。 2）收敛慢，在图像编码应用中尤为突出。,3.4 二维离散傅立叶变换性质,3.5 快速傅立叶变换（FFT）,在研究离散傅立叶计算的基础上，节省它的计算
5、量，达到快速计算的目的,3.6 离散图像变换的一般表达式,1可分离变换：二维可分离变换的形式可用通用的关系式来表示：,若 则正反变换核是可分离的，若 的函数形式一样，则称它们又是 加法对称的。,如二维傅立叶变换对：,具有可分离变换核的二维变换可分成二个步骤计算，,第一步：沿 的每一行进行一维变换,第二步：沿 的每一列进行一维变换,2、图像变换的矩阵表示式 当 是可分离、对称的，正变换可写成矩阵形式： 利用矩阵形式优点：所得到的变换矩阵可分解为若干个具有较 少非0元素的矩阵的乘积，可减少冗余并减少操作次数,图像变换的矩阵表示式与代数表示式一样,3.7 离散余弦变换,3.7.1一维离散余弦变换（D
6、CT）的正变换核为：,对应的离散余弦变换：,离散余弦反变换 （反变换核与正变换核形式相同）,3.7.2 二维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：,二维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：,对应的离散余弦变换：,离散余弦反变换：,二维快速DCT,可看出，二维离散余弦变换的变换核是可分离的，因而可通过两次一维变换 实现一维变换。,性质： 1、 余弦变换是实数、正交。 2、 离散余弦变换可由傅立叶变换的实部求得 3、对高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性 4、对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT是K-L 变换的最好近似 应用：广泛用到图像压缩编码，语言信号处理等,3.8 walsh变换（D
7、WT）,一维离散沃尔什变换 ：,当 时,变换核 ：,其中 是二进制表达的第k位，如n3，则对I6（110），b0（I）=0, b1（I）=1, b2（I）=1,walsh反变换：,可看出正反变换的算法只差一个1/N的系数,二维离散沃尔什变换：,正反变换核为：,它们相同且都具有分离性。即,二维walsh变换矩阵表示：,反变换矩阵表示：,N=2时变换核：,N=4时变换核：,N=8时变换核：,Eg：二维均匀分布的数字图像信号：， 求它的DWT,可看出，walsh变换具有能量集中特性，且原始数据中数字 越是均匀分布，经变换后的数据越是集中于矩阵的边角上。 故二维沃尔什变换可压缩图像信息。,综上所述，沃
8、尔什变换其变换只有1，1组成，在变换过程中只有 加、减运算。计算简单，易于硬件实现。（有快速算法）,3.9 离散哈达码变换（DHT）,是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达码变换矩阵是个方阵， 只有1，1元素，它的变换核矩阵具有简单的递推关系， 即高阶矩阵可由二个低价矩阵的直积求得。,一、 一维离散哈达码变换,变换核：,的哈达码矩阵：,(2N阶的哈达码矩阵)与N阶的HN之间关系。,Eg：N=4,列率：沿某一列符号改变的次数通常称为这个列的列率 定序哈达码变换：常对列率随u增加而增加的次序感兴趣 eg：,二维离散哈达码变换,性质： 1、H矩阵是实对称、正交矩阵。 2、FHT。 3、 对于高相关图像能量
9、紧凑性能好,哈达码变换核是可分离、对称的，也可由二步一维变换完成， 存在FHT，类似FWT.,*小波变换 傅立叶变换用在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅立叶反映的是信号或函数的 整体特征，而有些实际问题关心的是信号的局部范围中的特征。,3.10 小波变换,例如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震记录来说，关心什么位置出现反射波；,在边缘检测中，关心的是信号突变部分的位置。 从而引进窗口傅立叶，用一个窗口去乘所研究的函数，然后进行傅立叶变换。,但引入的这种变换窗口的尺寸和形状与频率无关而是固定不变的。这与高频 信号的分辨率应比低频信号高，因而与频率升高应当
10、窗口减小这一要求不符， 为此未能得到广泛的应用与发展,小波： a） 从分辨率看，小波较好地解决了时间与频率分辨率的矛盾，它巧妙的 利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率， 而在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。即子波分析的窗宽是 可变的，在高频时用短窗口，而在低频时，则使用宽窗口。,b）小波并不一定要求是正交的，其时宽频宽乘积很小，因而展开系数的 能量较为集中。,子波变换的基本思想：是用一族函数去表示或逼进一信号或函数，这族 函数称为子波函数集，它通过一基本子波函数的不同尺度的平移和伸缩 组成，它的特点是时宽频宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。,若基
11、本子波函数为h（x），伸缩和平移因子分别为a和b，则子波变换 基底定义为：,窗口面积不变，对于大的中心频率，窗变窄，小的时间间隔，可给出 较高的分析精度，对于小的中心频率，窗变宽，大的时间间隔，可给 出完整的信息。,函数 的连续子波变换定义为：,应用： 1）图像压缩：小波把信号分解成具有不同时间和分辨率的信号，,小波的特点： a）能量集中 b）易于控制各子带噪声 c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。 2）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的特点，能 准确定位信号的上升沿和下降沿。,习 题 1 离散傅立叶变换的性质及在图像处理中的应用？ 2 小波变换有哪些特点？ 3求下列图像的二维离散傅立叶变换 (a)长方形图像 (b) 旋转45后的长方形图像,4请实际编程做出以下图像的二维离散余弦变换,
