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1、第十章 微分方程与差分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程及其解法,第三节 一阶微分方程在经济中的应用,第四节 可降阶的高阶微分方程,第五节 二阶常系数线性微分方程,第六节 一阶差分方程,第七节 一阶差分方程的简单经济应用,二、二阶常系数齐次线性微分方程,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,一、二阶线性微分方程解的结构,第五节,二阶常系数线性微分方程,n 阶线性微分方程的一般形式为,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,如果系数都为常数，称为常系数线性微分方程， 否则称为变系数线性微分方程,一、二阶线性微分方程解的结构,形如,的方程称为二阶齐次线性微分方程.,定理1
2、如果函数 与 是方程（10.33） 的两个解，则它们的线性组合,形如,的方程称为二阶非齐次线性微分方程.,（10.32）,（10.33）,也是（10.33）的解，其中 、 是任意常数,一、二阶线性微分方程解的结构,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,所谓 与 线性无关是指：,函数的线性相关与线性无关：,例如：,线性无关.,常数，,线性相关.,齐次方程的这条性质表明它的解符合叠加原理,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多
3、项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,定理2 如果函数与是方程（10.33）的两个线性无关的特 解，则它们的线性组合,（ 、 是任意常数）,是（10.33）的通解,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,定理3 设 是二阶非齐次线性微分方程（10.32） 的一个特解， 是与（10.32）对应的齐次方程（10.33 ）的通解，那么,（10.35）,是二阶非齐次线性微分方程（10.32）的通解,证: 将,代入方程左端, 得,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两
4、个独立任意常数,证毕,因而 也是通解 .,定理4 设二阶非齐次线性微分方程（10.32）的右端 是几个函数之和，如,而 和 分别是方程,的特解，那么 就是原方程的一个特解,这一定理称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理 二阶线性微分方程的解的结构定理可以推广到阶线性微分 方程的情况下面进行简单的叙述,定理5 设 是 阶齐次线性微分方程 （10.36） 的 个线性无关的解，则 （为任意常数） 为方程（10.36）的通解,定理6 若 是非齐次线性微分方程 （10.37） 的一个特解， 是对应的 阶齐次 线性微分方程 （10.36）的通解，则 （ 为任意常数） 是（10.37）的通解,二、二阶常系数齐
5、次线性微分方程,在二阶齐次线性微分方程（10.33）式中，如果 和 均为常数，即（10.33）式成为 （10.38） 其中p、q是常数，则称方程（10.38）为二阶常系数齐次线性微分方程。,和它的导数只差常数因子,代入10.38得,称上式为微分方程10.38的特征方程,( r 为待定常数 ),所以设10.38的一个解为,其根称为特征根.,推导,1. 当,时,特征方程有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,则微分,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,的另一特解为,代入方程得:,设与 线性无关,是特征方程的重根,所以,取 , 则得,因此原方程的通解为
6、,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,结论:,特征方程:,实根,综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程,（10.38）,的通解的步骤如下：,第一步 写出微分方程（10.38）的特征方程,第二步 求出特征方程的两个根 和 ；,第三步 根据特征方程的两个根的不同情形，按照上表写出方 程（10.38）的通解：,例1 求下列微分方程的通解,1.,2.,3.,解 （1）所给微分方程的特征方程为,它有两个不相等的实根 ，因此所求微分方程 的通解为,（2）所给微分方程的特征方程为,它有两个相等的实根 ，因此所求
7、微分方程的通解为,解： 特征方程为,它有一对共轭复根 ，因此所求微分方程的通解为,（3）所给微分方程的特征方程为,例2 求解初值问题,所求微分方程的通解为,特征方程有两个相等的实根 ，,故该初值问题的解为,解得,将初始条件分别代入上面两式，得,对上式求导得,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,一般来说，求的特解y*并不容易.对f (x)的下面,两种最常见形式，采用待定系数法来求出 y*., 为实数 ,为 m 次多项式 .,1、,结论,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,设方程的一个特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程
8、, 得,推导,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次待定系数多项式,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,即,即,例3 求微分方程 的通解及满足初始条件 ， 的特解,特征方程为 ，特征根为 ， 因此对应的齐次方程的通解为,解 （1）先求对应的齐次方程的通解,（2）再求非齐次方程的一个特解,代入方程，得,由于 ，则 ， 不是特征方,程的根，所以设非齐次方程的特解为,将初始条件代入，得,（3）写出方程的通解,比较系数，得,所以,（4）求满足初始条件的特解,方程的通解为,由于,所以满
9、足初始条件的特解为,2、,结论,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例4 求微分方程 的一个特解,对应的齐次方程的特征方程为,解,代入原方程，化简得,则,得特征根,因为 不是特征方程的根，,所以设所求方程的一个特解为,比较系数，得,由于,所求方程的一个特解为,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 ., 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,
