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1、第4章 微积分的应用,微积分在自然科学与工程技术上有着极其广泛的应用本章将在介绍微分中值定理的基础上，给出计算未定型极限的新方法罗必塔法则，研究函数及其图形的性态，解决一些常见的应用问题并且用定积分的元素法讨论定积分在几何与物理方面的一些简单应用,下一页,上一页,返回,一、微分中值定理,二、罗必塔法则,第1节 微分中值定理 罗必塔法则,下一页,上一页,返回,下面介绍的三个定理统称为微分中值定理，是微分学的基本定理，它是利用导数研究函数性态的理论依据,一、微分中值定理,下一页,上一页,返回,定理1(罗尔定理) 如果函数 f (x) 满足: 1) 在闭区间a, b上连续.,几何意义：如果连续曲线除
2、端点外处处都具有不垂直于 x 轴的切线. 且两端点处的纵坐标相同，,那么其上至少有一条平行于x轴的切线.,那么至少存在一点x (a, b) ，使 f (x ) = 0.,3) f (a) = f (b) .,2) 在开区间 (a, b)内可导.,下一页,上一页,返回,例1 不求函数 f (x) = (x + 1) (x 1) (x 2) 的导数，说明方程 f (x) = 0 有几个实根，并描出它们所在的区间.,解 显然, f (x) 在区间 -1, 1，1,2 上都满足罗尔定理，,所以至少有 x1 (-1, 1)，x2 (1, 2)，使 f (x1) = 0， f (x2) = 0，,又因为
3、f (x) = 0 是一个一元二次方程，,最多有两个实根，,且分别在区间(-1, 1) 和 (1, 2)内.,所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个实根，,即方程 f (x) = 0 至少有两个实根，,下一页,上一页,返回,定理2(拉格朗日定理) 如果函数 f (x) 满足: 1) 在闭区间a, b上连续.,几何意义：如果连续曲线除端点外处处都有不垂直于 x 轴的切线.,那么该曲线上至少有一点处的切线平行于曲线两端点的连线.,那么至少存在一点x (a, b)，使得,2) 在开区间 (a, b)内可导.,下一页,上一页,返回,推论1 若函数 f (x) 在 a, b 上连续,且在(a, b)
4、内的导数恒为零，则在a, b上函数 f (x) 为常数.,证明,下一页,上一页,返回,例2 证明恒等式：,证 令,显然,在-1,1上连续，且,下一页,上一页,返回,又在-1,1上任取一点,设,于是有,因此,由推论可知,下一页,上一页,返回,那么, 则至少存在一点 x (a，b)，,定理3(柯西定理) 如果函数 f (x) 和g(x)满足: 1)在闭区间a, b上连续.,2) 在开区间 (a, b)内可导.,使得,下一页,上一页,返回,二、罗必塔法则,当 时,函数f(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 可能存在，也可能不存在.,下一页,上一页,返回,定理4 如果函数 f (x) 与
5、g(x)满足:,则有,其中 k为常数,下一页,上一页,返回,推论2 如果函数 f (x) 与 g(x)满足:,则有,其中 k为常数,下一页,上一页,返回,上述求极限的方法叫做罗必塔（LHospital）法则，它将 “ ”型或“ ”型未定式代换为导数商的极限,（如果导数商的极限存在或为 ）.,说明：若使用一次罗必塔法则后，仍未求出极限，,则可继续使用罗必塔法则，即,即：条件成立，罗必塔法则可以使用多次,下一页,上一页,返回,例3,解,方法一：由罗必塔法则，可得,下一页,上一页,返回,方法二：使用等价无穷小代换，即得,因此，对于“ ”型未定式，应将罗必塔法则与等价无穷小代换结合起来使用,下一页,上
6、一页,返回,例4,解,方法一：由罗必塔法则，可得,下一页,上一页,返回,方法二：用罗必塔法则结合等价无穷小代换求解，即,下一页,上一页,返回,例5,解,由罗必塔法则，得,下一页,上一页,返回,例6,解,由罗必塔法则，得,下一页,上一页,返回,对于这两类未定式，可通过恒等变形转化为“ ”或“ ”型未定式，然后运用罗必塔法则求解,下一页,上一页,返回,例7,解 这是“0”未定式.,将其转化为,“ ”型未定式，然后用罗必塔法则，即得,下一页,上一页,返回,例8,解 这是 “ - ” 型未定式，通分后化成“ ”型未定式，然后用罗必塔法则，即得,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例9,解,下一页,上一页,返回,例10,解,下一页,上一页,返回,例11,解,下一页,上一页,返回,例12,解,由罗必塔法则，得,下一页,上一页,返回,可见，罗必塔法则已对其失效，但此极限确是存在的事实上，,此例说明，罗必塔法则的条件是充分的，但并非是必要的当运用罗必塔法则失效时，极限仍有可能存在，此时应考虑用其他方法求解,下一页,上一页,返回,
