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1、,项目1 交通信号灯工作状态显示电路的设计,任务引入： 交通信号灯由黄、绿、红三盏灯组成，如果其中一盏灯亮，而且只有一盏灯亮时，认为工作状态正常；若出现其它情况（如两盏灯或三盏灯都亮或没有一盏灯亮），均认为交通信号灯为故障工作状态，这时应报警，提醒维修人员去维修。,任务分析：,对于交通信号灯的“亮”与“灭”，电路工作状态的“正常”与“故障”，都是截然相反的两种状态，所以，要表述每盏灯的状态和电路的状态，需要借助只有两种状态的数字信号来表示。为此需要引入数字信号的概念，用数字电路来实现本电路功能。,项目1 交通信号灯工作状态显示电路的设计,任务1 根据任务列写真值表 任务2 写出逻辑表达式 任务
2、3 化简逻辑表达式 任务4 画逻辑电路图 任务5 相关知识扩展,任务1 根据任务列写真值表,1.根据需求分析定义输入、输出变量 首先根据题意确定输入变量、输出变量，并分别用字母表示。对于输入信号通常用变量A、B、C、表示，输出通常用变量X、Y、Z、表示。 输入变量：黄灯 A 输出变量：指示灯 Y 绿灯 B 红灯 C,任务1 根据任务列写真值表,确定输入、输出变量的取值状态： 三个交通信号灯灯亮时对应的变量取值为“1”，灯灭时对应的变量取值为“0”。 电路正常时指示灯灭，对应输出变量取值为“0” ，电路故障时指示灯亮，输出变量为“1”。 注意：在这里 “0”和“1”不表示数值大小，仅表示相互对立
3、或者相反的两个“状态”。,任务1 根据任务列写真值表,2.基本概念 数字信号：在时间和数值上都是不连续变化的离散信号称为数字信号。 数字电路：数字电路是用来产生、传输和处理数字信号的。 逻辑函数：研究数字电路的数学工具是逻辑函数，它的基本概念是由英国数学家乔治布尔（George Boole）于1947年提出的，故逻辑函数也称布尔代数。 逻辑变量 ：逻辑函数与普通代数一样，也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。逻辑变量取值中的“1”和“0”，不具有数量大小的意义，仅表示两种不同（相反）的工作状态。 正、负逻辑 ：如果把通、闭合、高和亮等用“1”来表示，截止、断开、低和灭等用“0”表示，为“正逻
4、辑”，反之就为“负逻辑”，在本书中如无特别说明，均采用“正逻辑”。,任务1 根据任务列写真值表,3.列写真值表 真值表是将输入变量所有可能的取值及其相应的输出排在一起组成的表格，是用表格形式来表示逻辑函数的方法。 1个逻辑变量可以有两种状态（0、1），那么两个变量就有4种状态组合（00、01、10、11），三个变量就有8种状态组合（000、001、010、011、100、101、110、111），n个变量就有2n种状态组合。,任务1 根据任务列写真值表,根据任务的要求分析可以知道，只有1盏灯亮时，电路正常，指示灯灭（取值为0）；其余情况，电路异常，指示灯亮（取值为1）。可以得到真值表（见表1-
5、1）及电路对应的工作状态（见表1-2）。,表1-1 交通信号灯 表1-2 交通信号灯 工作状态真值表 工作状态表,4.相关知识介绍,数制 数制是数的计数方法，表明逢几进一。常用的有十进制、二进制和十六进制等。逢几进一，就把几称为它的基数。 1）十进制数。十进制是以“10”为计数基数的计数体制，用09十个数码和一个小数点“.”表示出任意大小的数，其计数规则是“逢十进一”。例如（128.35）10110221018100310-1510-2，这个式子称为十进制的按权（10n）展开式，式中下角标10表示括号内的数是十进制数。102、101和100分别为整数部分的百位、十位和个位的权，而10-1、10
6、-2、分别为小数部分的十分位、百分位的权。1、2、8、3、5分别为百位、十位、个位、十分位、百分位的数码。,数制,2）二进制数。二进制是以“2”为计数基数的计数体制，在二进制数中，每位仅有“0”或“1”两个可能的数码，计数规律是“逢二进一”。在二进制数中，各位的权都是2的幂。 例如：（1101.01）212312202112002-112-2（13.25）10 式中，23、22、21、20依次分别为整数部分各位的权。可见，整数部分第n位的权是2n-1，小数部分的权依次为2-1、2-2，可见，小数部分第i位的权是2-i。,数制转换,1）十进制数转换为二进制数。若一个十进制数有整数和小数部分，应分
7、别换算。 整数部分的转换采用“除二取余法”，即将整数部分连续除以要转换的计数体制的基数（2），每次除完所得余数就作为要转换的系数。先得到的余数为转换位的低位，后得到的余数为高位，直至除得的商为零为止。 小数部分的转换采用“乘二取整法”，即将小数部分乘2，乘得结果的整数部分为二进制数的高位，取出其小数部分再乘2，所得结果的整数部分为二进制的次高位，以此类推，直至小数部分达到要求的精度为止。,【例1】把十进制数23转换为二进制数。,解：用“除二取余法”。 即（23）10 （10111）2 整数除二，取出余数再除二，直到商为零。,【例2】把十进制数0.125转换为二进制数,解：用“乘二取整法” 即（
8、0.125）10=（0.001）2,二进制数转换为十进制数。,将二进制数按权展开，求出各加权系数之和，然后相加。 【例3】把二进制数110转换为十进制数。 解：（ 110）2122121020（6）10 【例4】把二进制数1101.011转换为十进制数。 解： （1101.011）212312202112002-112-212-3 （13.625）10,任务2 写出逻辑表达式,1.找出所有输出为1的项 写出逻辑表达式的方法为：首先从真值表中挑选出所有值为“1”的项，观察这时输入变量的取值情况。本任务中Y的取值为“1”的项共有5项，对应的输入变量的取值（按ABC顺序）为 000、011、101、
9、110、111。,任务2 写出逻辑表达式,2.确定输入、输出之间的逻辑关系。 首先，观察输出变量与输入变量之间的关系可以看到它们之间满足这样的规律：决定某一事物（指示灯是否亮）结果的几个条件（令Y取值为“1”的ABC的5种取值状态）中，只要有任何一个条件（5种取值中的一种）具备，结果（指示灯亮）就会发生，它们之间的这种因果逻辑关系称作或逻辑，也称为逻辑相加，可以用“+”号表示。 其次，观察令Y取值为“1”的ABC的5种取值状态中的任意一种，可以看出输入变量与输出变量之间满足这样的关系：只有当决定某一事物（指示灯亮）结果的全部条件（ABC的取值）同时具备时结果（指示灯亮）才会发生，这种因果逻辑关
10、系称为与逻辑，也称为逻辑相乘，可以用“ ”号表示，也可以省略此符号。,任务2 写出逻辑表达式,3.原变量与反变量 变量A、B、C的反变量分别是 、 、 ，定义当变量的取值为“1”时，用原变量表示，当变量的取值为“0”时，用反变量表示，如：ABC取值为000时，表示ABC分别取反变量，以逻辑与关系构成，表示为 。上面能让Y取值为1的5种取值情况对应表达式见表1-3。,表1-3 交通信号灯取值对应表达式,任务2 写出逻辑表达式,4.确定逻辑表达式 （1）本任务的逻辑表达式 将表1-3中取值为1的5种情况以逻辑或的方式来表示与输出变量Y的关系，得到逻辑表达式（也称为或逻辑函数式）为,任务2 写出逻辑
11、表达式,（2）最小项定义 观察上式的特点，可以发现，函数Y的5个乘积项均包含了函数的全部变量（ABC），其中每个变量仅以原变量或反变量的形式出现一次，此类乘积项称为该函数的一个标准乘积项，通常称为最小项。本式中含有5个最小项。 最小项的定义：在N变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含N个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式在乘积项中仅出现一次，则该乘积项称为N变量的一个最小项。 n个变量有2n个最小项,任务2 写出逻辑表达式,（3）最小项的表示方法 把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量的顺序确定后就可以按顺序排成一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数，就是最小项的下标i，记为mi
12、。比如三变量A、B、C八个最小项中的 对应变量的取值组合是000，二进制数000对应的十进制数是0，记为m0；最小项 对应的变量的取值组合是010，二进制数010对应的十进制数是2，记为m2。 所以上式可以用最小项表示为 =m （0、3、5、6、7 ）,任务2 写出逻辑表达式,（4）逻辑函数的最小项表达式 逻辑函数的最小项表达式可以通过列写真值表得到，把函数值为1的那些最小项相加，就能获得由最小项组成的逻辑表达式，称为最小项表达式，也称为标准与或表达式。,任务2 写出逻辑表达式,（5）常用的逻辑函数的表达方式 常用的逻辑函数的表达方式有5种：逻辑表达式、逻辑真值表、逻辑电路图、卡诺图、波形图。
13、 采用其中任何一种都可以表达出输出变量与输入变量之间存在的对应关系。五种表达式可根据实际情况来选用，相互之间是可以互相转换的。,常用的逻辑函数的表达方式,逻辑表达式。逻辑表达式是用与、或、非等基本逻辑运算来表示输入变量和输出变量的因果关系的逻辑函数式。如：Y=AB。 真值表。真值表是用表格表示逻辑函数的方法。前面已经介绍过。真值表比较直观，在将一个实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表最方便。,常用的逻辑函数的表达方式,卡诺图。卡诺图是真值表的变形，把真值表中的每一行用一个小方格来表示。 逻辑电路图。将逻辑函数输入与输出之间的关系通过对应的逻辑符号表示出来的图形，称为逻辑电路图。 波形图。将
14、输入变量与输出函数的关系在时间上直观地表现出来，又称时序图。波形图能直观地表达出输入变量和函数之间随时间变化的规律。,任务3 化简逻辑表达式,根据真值表写出的逻辑表达式一般都需要进一步化简，这样才能使表达式在形式上最简单，也最容易实现。常用的化简方法有：公式法化简、卡诺图法化简。,1.逻辑函数的基本公式、定律和规则,1.逻辑函数的基本公式、定律和规则,任务3 化简逻辑表达式,【例5】证明 A+BC=（A+B）（A+C） 证明：右边 =（A+B）（A+C） =AA+AB+AC+BC ； 分配律 =A+A（B+C）+BC ； 结合律，AA=A =A（1+B+C）+BC ； 结合律 =A1+BC ；
15、 1+B+C=1 =A+BC ； A1=A,（2）逻辑函数的基本规则,代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现某一变量的位置，都用某一个逻辑函数来代替，等式仍然成立，这个规则称代入规则。 反演规则：对于任意一个逻辑函数Y，若要求其反函数 时，只要将逻辑函数Y 所有的“”换成“+”，“+” 换成“”；“1” 换成“0”，“0” 换成“1”；原变换成反变量，反变量换成原变量。所得到的逻辑函数式，即为原函数Y 的反函数 。 在应用反演规则时应注意以下两点： 1）要遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。 2）不属于单个变量上的长非号应保持不变。,（2）逻辑函数的基本规则,对偶规则
16、：对于任意一个逻辑函数Y，若要求其对偶函数 时，只要将逻辑函数Y 所有的“”换成“+”，“+” 换成“”；“1” 换成“0”，“0” 换成“1”；而变量保持不变，所得到的逻辑函数式，即为原函数Y 的对偶函数 。对偶规律：若两逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等。 在应用对偶规则时应注意以下两点： 1）要遵守运算符号的先“与”后“或”的优先次序，掌握好括号的使用。 2）所有的非号均应保持不变。,任务3 化简逻辑表达式,2.公式法化简 利用逻辑函数的基本公式、定律和规则，可以对表达式进行简化，公式法化简的优点是它的使用不受条件的限制，但没有一定的操作步骤可循，主要靠熟练、技巧和经验，很难判断是否化至最简。,2.公式法化简,2.公式法化简,【例7】用公式法化简,2.公式法化简,3.卡诺图法化简,卡诺图法化简的优点是简单、直观，而且有一定的规律可循，可以
