《信号与系统 教学课件 ppt 作者 王玲花 3章 傅里叶变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 王玲花 3章 傅里叶变换（233页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换,第3章 傅里叶变换,重点：,傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。,3.1 傅里叶变换的产生,傅里叶的两个最主要的贡献： （1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”; （2）“非周期信号都
2、可用正弦信号的加权积分表示”.,三角函数,就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：,3.2 周期信号的傅里叶分析,1. 归一化：,2. 归一正交化：,3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号,周期的终点,设三角函数的完备函数集为：,其中,三角函数集也可表示为：,3.2.1 傅里叶级数的三角形式,基频,周期,周期的起点,满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有,可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为,称为傅里叶级数,傅里叶级数的三角展开式,直流分量,n=0,n=0,基波分量,n次谐波分量,！,并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！,1
3、. 从三角函数形式的傅里叶级数推导,3.2.2 傅里叶级数的复指数形式,的具体求法如下：,式中,例,求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。,已知冲激序列,的三角傅里叶级数为：,解,求下图中三角波的三角傅里叶级数。,将,去除直流分量，则仅剩交流分量,例,解,故,（2）利用直接法求解,故,常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。,用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为： （1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分； （2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。,3.2.3 傅里叶级数的MATL
4、AB仿真实现,3.3 周期信号的对称性,1纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。,满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。,定义：,奇谐函数,偶谐函数,满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。,2横轴对称性,（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。,（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。,如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有
5、偶次谐波分量。,！,利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。,已知奇谐函数：,例,解,3.4 常见周期信号的频谱,3.4.1 频谱的概念,频谱图,例,，求频谱,解,（1）单边频谱：,（2）双边频谱：,包络线,频谱图随参数的变化规律：,1）周期T不变，脉冲宽度变化,情况1：,第一个过零点n=8,情况2：,第一个过零点为n =16。,情况3：, 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 所以 称为信号的带宽， 确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。,结 论, 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 带宽不变。 T 由小变大，谐
6、波频率成分丰富，且频谱幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱,结 论,典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下： 1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号,3.4.2 常见周期信号的频谱,1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解,设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1,（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱,复数频,实数频谱,幅度谱与相位谱合并,周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情
7、况，对称方波信号有两个特点： (1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零； (2)它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2。,2. 周期对称方波信号的傅里叶级数,幅度谱,3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解,周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数bn。 如何求bn留作思考！,其傅里叶级数表达式为：,此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,4. 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解,周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。 如何求bn留作思考！,此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶级
8、数表达式为：,5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解,周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。 如何求bn留作思考！,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数求解,周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为,则，全波余弦信号为：,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n= . 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n
9、 ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则,3.4.3 吉布斯效应,对称方波, 是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。,例,对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1、2、3时的逼近波形）,（3）N=3:,（1）N=1:,（2）N=2:,有限项的N越大，误差越小例如: N=9,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真； 有吉伯斯现象发生。,结论,以周期矩形脉冲为例：,只需修改上面程序(3.2.3节)中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用s
10、tem而非plot命令。 谐波阶数取,还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶。 上机练习！,3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现,对周期矩形脉冲信号，有,3.5 非周期性信号的频谱,3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换,从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。,由于,1从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换,信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T 时，信号的频谱分布仍然存在。,结论,无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。,从数学角度来看：,所以，傅里叶级数展开为：,为频谱密度函数。,定义,周期信号：频谱是离散的，且各频率分
11、量的复振幅 为有限值。,非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的复振幅 为无限小量。,所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。,！,3. 正、逆傅里叶变换,反变换,正变换,傅里叶变换存在的充分条件:,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。,4傅里叶变换的另外几种形式,本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。 1.单边指数信号 6. 符号函数 2. 双边指数信号 7. 冲激函数傅里叶变换对 3. 奇双边指数信号 8. 冲激偶的傅里叶变换 4. 矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换 5.
12、钟形脉冲信号 10. 复正弦信号,3.5.2 常见信号的傅里叶变换,1. 单边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,利用傅里叶变换定义公式,单边指数信号的频谱如下：,2. 双边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,（正实函数）,利用傅里叶变换定义公式,求解过程,双边指数信号的频谱如下：,3. 奇双边指数信号的傅里叶变换,频谱如下：,时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为,5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换 （高斯脉冲）,其傅里叶变换为：,（正实函数）,因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频谱为零。,频域频谱,6. 符号函数的傅里叶变换,其傅里叶变换为
13、：,（纯虚数函数）,符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。,7. 冲激函数傅里叶变换对,直流信号的傅里叶变换是冲激函数,！,8. 冲激偶的傅里叶变换,记为,10复正弦信号,结论,升余弦脉冲信号：,其傅里叶变换为：,（实数）,其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了,利用傅里叶变换定义公式,化简得：,求解过程,3.5.3 MATLAB仿真实现,MATLAB数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和i
14、fourier()。,（1）傅里叶变换调用格式,1）F=fourier(f),2）F=fourier(f,v),3）F=fourier(f,u,v),（2）傅里叶逆变换调用格式,1）f=ifourier(F),2）f=ifourier(F,u),3）f=ifourier(F,v,u),在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。,！,书中例题
15、可上机练习,时间函数 频谱 某种运算 变化 变 化 运算,3.6 傅里叶变换的性质,1. 傅里叶变换的唯一性,傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系。,！,2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）,若 ，则,如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：,（1）冲激函数,（2）直流函数,例,解,3. 线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱各个单独信号的频谱之和,证明,推论,求 f(t) 的傅里叶变换,例,解,整理上式得出：,把式（2）、（3）代入式（1）整理得：,性质1 实数函数 设f(t)是t的实函数,则 的实部与虚部将 分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有,特殊情况讨论：,从上式可以得出结论:,实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.,特点,性质2 虚函数,设f(t)是纯虚函数,则,反之也正确.,因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数。,性质3 实偶函数,实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数,结论,反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。,推论,设f(t)是t的实偶函数，则,例,解,性质4 奇实函数,设f(-t)=-f(t) ，则：,反之，若一实函数f(t)付里叶积分是一纯虚
