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1、第三章 离散傅里叶变换,第三章学习目标,理解傅里叶变换的几种形式(4种) 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程 掌握离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性， 掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系、理解频谱分析过程,3.2 Fourier变换的几种可能形式,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,连续时间、连续频率傅里叶变换,时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。,连续时间、离散频率傅里叶级数,时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时
2、域是周期函数。,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的,四种傅里叶变换形式的归纳,设 是一个周期为N的周期序列， 即,r为任意整数,周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是,3.3 周期序列的离散傅里叶级数,但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数序
3、列的频率是周期序列 的基频（2/N）的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为,（2-1）,式中, k, r为整数。,由式（2-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 可展成如下的离散傅里叶级数，即,（2-2）,式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数， 是k次谐波的系数。,下面我们来求解系数 ，,（2-3）,将式（2-2）两端同乘以 ，然后从n=0 到N-1的一个
4、周期内求和，则得到,（2-2）,这要利用以下特性，即,把r换成k可得,（2-4）,这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 的公式。同时看出 也是一个以N为周期的周期序列，即,这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数 的说法是一致的。可以看出，时域周期序列 的离散傅里叶级数在频域（即其系数 也是一个周期序列。因而 与 是频域与时域的一个周期序列对， 式（2-2）与式（2-4）一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。 为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定义为,（2-5）,周期序列的DFS正变换和反变换：,其中：,使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示为:,
5、（2-6）,（2-7）,式中，DFS表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数反变换。 从上面看出，只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。,可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面 单位圆上按等间隔角 抽样得到,3.4 离散傅里叶级数的性质,3.4.1线性,其中， 为任意常数,若,则,3.4.2时域移位,3.4.3频域移位,3.4.4周期卷积和,若,则,同样，利用对称性,若,则,3.5有限长序列的离散傅里叶变换(DFT),同样：X(k)也是一个N点的有限
6、长序列,有限长序列的DFT正变换和反变换：,x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；,x(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。,3.6 离散傅里叶变换的基本性质,DFT正变换和反变换：,3.6.1 线性性质,这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,3.6.2 序列的圆周（循环）移位性质,定义：,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相 移，而对频谱幅度无影响。,(1) 时域圆周移位定理,(2) 频域圆周移位定理 （调制特性）,时域序列的调制等效于频域的圆周移位,3.6.3 圆周卷积和性质,若,则,
7、圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加,N,N,N,同样，利用对称性,若,则,3.6.4巴塞瓦尔定理,3.6.5共轭对称性,其中：,共轭反对称分量：,共轭对称分量：,任意周期序列：,定义：,则任意有限长序列：,圆周共轭反对称序列：,圆周共轭对称序列：,同理：,其中：,复共轭序列,(2),(1),(3),(4),偶对称,奇对称,圆周共轭对称分量性质,圆周共轭反对称分量性质,偶对称,奇对称,例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:,3.6.6圆周相关定理,线性相关：,自相关函数：,相关函数不满足
8、交换率：,相关函数的z变换：,相关函数的频谱：,圆周相关定理,DFT的应用： DFT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分 析、通讯理论方面有广泛的应用。归结起来,有两个大 方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用 DFT(FFT) 作为连续傅里叶变换的近似。,3.7 离散傅里叶变换的应用,3.7.1 求解线性卷积,N,即 当圆周卷积长度NN1+N2 -1时，N点圆周卷积能代表线性卷积,有限长序列的线性卷积与圆周卷积,线性卷积：,对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；,对x2(n)周期延拓：,圆周卷积：,圆周卷积：,N,小结：线性卷积求解方法,时域直接求解,z变换法,DFT法,
9、3.7.2用DFT来逼近连续时间信号的傅里叶变换,我 们 知 道 DFT 的 最 初 引 入 就 是 为 了 使 数 字 计 算 机 能 够 帮 助 分 析 连 续 时 间 信 号 的 频 谱。 DFT 的 快 速 算 法 -快 速 傅 里 叶 变 换 (FFT) 的 出 现 使 得DFT这种分析 方 法具有实用价值和重要性。 我 们 这 里 将 简 单 的 讨 论 逼 近 的 方 法 和 同 时 产 生 的 问 题.,信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换,讨论内容,1、用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换。 2、用DFS逼近连续周期信号的傅里叶级数。 3、用DFT做傅里叶变换的逼近时所产生
10、的问题。,对连续时间非周期信号的DFT逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）将 截短成有限长序列,3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓， 周期为,对连续时间非周期信号的DFT逼近过程 1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样,近似逼近：,对连续时间周期信号的DFS逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）频域截断：长度正好等于一个周期,近似逼近：,3.7.3 DFT在谱分析中出现几个问题及参数选择,频率响应的混叠失真及参数的选择,同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾,例：有一调幅信号 用DFT做频谱分析，要求能分辨
11、的所有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）? (2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）? (3)抽样点数应为多少点？ (4)若用 频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求 ，512点，并粗略画出 的幅频特性 ，标出主要点的坐标值。,（1）抽样频率应为,解：,（2）抽样时间间隔应为,频谱泄漏,改善方法：,对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏,1）增加w(n)长度,2）缓慢截短,栅栏效应,改善方法： 增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密,DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数,频率分辨率,提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率,
