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1、数字信号处理,1,绪论 第1章 离散时间信号和系统的时域分析 第2章 离散时间信号和系统的频域、复频域分析 第3章 离散傅里叶变换 第4章 快速傅里叶变换 第5章 数字滤波器的结构 第6章 无限长脉冲响应数字滤波器设计 第7章 有限长脉冲响应数字滤波器设计 第8章 有限字长效应,第8章 有限字长效应,第8章 有限字长效应,3,8.1 引言 8.2 A/D转换的有限字长效应 8.3 数字滤波器系数的有限字长效应 8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,8.1 引言,有限字长效应对数字系统输出造成的误差主要表现在以下三个方面。 （1）A/D转换器将模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量化效应。一般
2、情况下被处理的模拟信号要经过A/D转换器变成二进制数字序列，转换过程包括采样和量化两个步骤，采样以后信号仍然是无限精度的，由于实际数字系统二进制位数有限，必须对无限精度的信号值进行量化，由此产生量化误差。,4,（2）把滤波器系数用有限位二进制数表示时产生的量化效应。就某些滤波器的结构类型来说，它们的零点和极点位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变有可能对滤波器的频率特性产生很大的影响。特别是那些单位圆内且非常靠近单位圆的极点，如果由于滤波器系数的量化误差，而使这些极点变到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了稳定性。,5,8.1 引言,（3）在数字运算过程中，如进
3、行乘法运算时，乘积的有效位数会增加，须用截尾或舍入方法限制乘积结果的字长。在用定点运算实现递归结构的IIR滤波器时，有限字长效应有可能引起零输入极限环振荡，使滤波器性能不稳定。,6,8.1 引言,7,8.1 引言,1）在整个运算中，二进制小数点在数码中的位置固定不变，这种运算称为定点运算。 2）原则上小数点在数码中的位置是任意的，但为了运算方便，通常定点制总是把数限制在1之间； 这时小数点固定在第一位二进制码之后，第一位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数”；,3）定点运算在整个运算过程中，所有运算结果的绝对值都不能大于1。为此绝对值大于1的数需要表
4、示时，可乘上一个衰减因子，保证该数在运算中不超过1；运算后再除以该因子还原。如运算过程中出现绝对值超过1时，数就进位到整数部分的符号位，这就出现错误，称为“溢出”，这时应修正衰减因子；但在IIR滤波器中，分母的系数决定着极点的位置，所以不适合用比例因子。,8,8.1 引言,4）定点运算的加法运算不会增加字长，但若没有选择合适的比例因子，则加法运算很可能会出现溢出现象；定点乘法运算不会溢出，但字长要增加一倍。如两个小数字长为b位的二进制数相乘，则结果为2b字长。为保证字长不变，乘法运算后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理。截尾就是将信号值小数部分b位以后的数直接略去，舍入是将信号值小数部分第b
5、+1位逢1进位，并将b位以后的数略去。尾数处理会带来截尾或舍入误差。,9,8.1 引言,浮点制 x=2CM 式中，C和M都是二进制数。 C是二进制整数，称为阶码或阶； M是二进制小数，称为尾数。 尾数和指数阶码都用带符号位的定点制表示。 x的符号由M的符号决定，整个运算过程中，C的数值可以随意调整。,10,8.1 引言,两个二进制浮点数x1=20100.1100，x2=20000.1001，求它们的浮点相加结果。 解：将阶码较小的x2的阶码变成与x1一样，即将x2的尾数小数点左移两位而阶码加2，得 x2=20100.001001 然后将两数相加得 x =x1+x2=20100.111001,1
6、1,8.1 引言,不论是定点制还是浮点制，都是将整数位用作符号位，小数位代表尾数值。对于负数，有原码、反码和补码三种表示方式。原码的尾数部分代表数的绝对值，符号位代表数的正负号。反码的负数则是将该数的正数表示形式中的所有0改为1，所有1改为0，即“求反”。补码是在原码反码的基础上，在所得数的末位加1，简称为对尾数的“取反加1”。,12,8.1 引言,用补码计算0.1875-0.8125。 解：0.1875为正数，它的补码与原码同为0.0011 0.8125的原码为0.1101，则-0.8125反码为1.0010，补码表示为1.0011 则两个补码相加得到的结果仍为补码表示，为 0.0011+1
7、.0011=1.0110 由补码求原码的过程是补码尾数的最后位减1，并把尾数每位取反，由此可得原码为1.1010，相应的十进制数为-0.625。,13,8.1 引言,综上所述， 原码的优点是直观，但做加减运算时要判断符号位的异同，因而运算时间较长； 反码只是将负数的原码转换为补码时的一个中间过渡代码，用得较少； 补码做加减运算时较简单，可以将加法和减法运算统一为加法运算，对于乘法补码比原码稍复杂，但目前在并行补码乘法方面已有一些快速算法，可作为大规模集成电路的内核而被广泛应用，因而在数字信号处理系统中普遍使用的是补码。,14,8.1 引言,15,8.1 引言,16,8.1 引言,17,8.2
8、A-D转换的有限字长效应,对该模型做如下假设： （1）e(n)是平稳随机序列； （2）e(n)与采样信号x(n)不相关； （3）e(n)序列本身任意两个值之间不相关； （4）e(n)在自身取值范围内呈均匀分布。,18,8.2 A-D转换的有限字长效应,19,8.2 A-D转换的有限字长效应,20,8.2 A-D转换的有限字长效应,设信号x(n)的功率为 ，则信噪比为 信噪比的分贝数为： 输入信号x(n)压缩为A x(n)，0A1,21,8.2 A-D转换的有限字长效应,【例8-3】 设x(n)是一个在（-2，2）区间均匀分布的平稳随机信号，采用舍入量化，为使信噪比不低于80dB，量化器的字长应
9、为多少位？ 解：对x(n)信号进行归一化的比例因子为 A=1/2 信号的方差为,22,8.2 A-D转换的有限字长效应,23,8.2 A-D转换的有限字长效应,24,8.2 A-D转换的有限字长效应,25,8.2 A-D转换的有限字长效应,26,8.2 A-D转换的有限字长效应,IIR滤波器系统函数为 系数ak和bk是由系统直接结构所求出的无限精度的系数，量化造成的系数误差为ak和bk，量化后的系数用 和 表示，即,27,8.3 数字滤波器的有限字长效应,则实际的系统函数可表示为: 为了讨论方便假设有一个系数经量化后使极点移到单位圆上z=1处，这时有,28,8.3 数字滤波器的有限字长效应,2
10、9,8.3 数字滤波器的有限字长效应,当系数用b位（不含符号位）定点二进制小数表示时，舍入量化误差绝对值不会大于2-b-1。 由于10-62-20，所以若选b为19，则系数的舍入误差绝对值不会超过2-20或10-6，从而保证极点不会移到单位圆上或单位圆处，保持滤波器工作的稳定性。,30,8.3 数字滤波器的有限字长效应,31,8.3 数字滤波器的有限字长效应,我们引入极点位置灵敏度的概念，来衡量每个极点位置对各系数量化偏差的敏感程度。极点位置灵敏度指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。极点位置的变化将直接影响系统的稳定性。所以极点位置灵敏度可以反映系数量化对滤波器稳定性的影响。,32,8.3
11、数字滤波器的有限字长效应,33,8.3 数字滤波器的有限字长效应,（1）分母多项式中， 是极点 指向极点 的矢量，整个分母是所有极点与第i个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小，即如果所有N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就很小，第i个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极点偏差就大。这些矢量越长，极点彼此间的距离越远，极点位置灵敏度越低。即极点位置灵敏度与极点间距离成反比。,34,8.3 数字滤波器的有限字长效应,（2）极点偏差与系统函数的阶数N有关，阶数越高，滤波器的极点位置对系数量化误差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，低阶直接
12、型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要更加敏感，同理，并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结构时，由于各二阶节相互独立级联或并联的结构来实现，而很少采用直接型结构。,35,8.3 数字滤波器的有限字长效应,（3）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对复共轭极点，特别是对于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都相距较远，因而系数量化误差对极点位置的影响很小。,36,8.3 数字滤波器的有限字长效应,37,【例8-5】 一个共轭极点在虚轴附近的滤波器如图8-5（a）， 一个共轭极点在实轴附近的滤波器如图8-5（b）,8.3 数字滤波器
13、的有限字长效应,【例8-6】 一个三对共轭极点的滤波器 H(z)，用三种结构实现。,38,8.3 数字滤波器的有限字长效应,1）用直接型结构实现，极点分布如图8-6a所示 , 2）用三个二阶网络级联的形式实现，极点分布如图8-6b所示 ，,39,8.3 数字滤波器的有限字长效应,影响极点位置灵敏度的几个因素： (1)与零极点的分布状态有关；极点位置灵敏度大小与极点间距离成反比； (2)与滤波器结构有关。高阶直接型极点位置灵敏度高；并联或级联型，系数量化误差的影响小； (3)高阶滤波器避免用直接型，尽量分解为低阶网络的级联或并联。,40,8.3 数字滤波器的有限字长效应,8.4 数字滤波器运算中
14、的有限字长效应,41,考虑一阶IIR系统，其差分方程为 设输入信号x(n)=0.875(n)，a=0.5，并设系统的初始状态为零，即y(-1)=0，不难求出输出y(n)=0.875an,n0，这是一个衰减序列。 假定系统的寄存器字长为4位，第一位为符号位，将x和a写成二进制，即 x(n)=0.111,a=0.100。,42,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,在n3后，比如n=4时，将 乘以0.100得0.000111，舍入后变成0.001，仍和 一样。这实际上是将a变为1，其结果等效于将系统的极点移动到单位圆上，所以系统处于临界稳定状态。这种现象称为极限环振荡。极限环振荡的幅度范围又称为
15、系统输出的死带。,43,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,在分析数字滤波器乘法舍入的影响时，需对各种噪声源作相关假设： （1）系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声（均值为零）； （2）所有的运算量化噪声之间不相关； （3）运算量化噪声和输入信号之间不相关； （4）量化噪声在自身量化范围内均匀分布。,44,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,45,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,46,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,采用定点制算法，尾数作舍入处理，分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差。,47,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,48,8.4 数字滤
16、波器运算中的有限字长效应,49,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,50,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,51,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,52,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,53,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,54,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,55,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,56,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,57,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,58,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,59,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,60,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,61,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,62,8.4 数字滤波器运算中的有限字长效应,若比较小于1的系数前置时三种结构的误差大小，一般来说直接型 级联型 并联型。 原因有如下几点： l）直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。 2）级联型结构，每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。
