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1、应用数学,主编:河南机电学校基础部,第六章 数 列,在日常生活中，常常会遇到按某种顺序排成一列的数，如学生的学号是按自然数顺序依次排列的.某班共50人，则其学号可以编排为： 1，2，3，50 (1) 一些城镇街道的门牌号是一边按单数排列，另一边按双数顺序排列的.某街道共有300个门，一边150个，则它们的门牌号可编排为： 1，3，5，299 (2) 及 2，4，6，300 (3),第一节 数列的概念,某杂技团表演叠罗汉时，自下而上各层人数依次是 5，4，3，2，1 (4) 上述例子中的数都是按照一定顺序排列而成的一列数，对于这样的数，给出下面定义： 定义 按照一定顺序排成的一列数a1,a2,a
2、3，an,称为数列，记作an.,第一节 数列的概念,数列中的每一个数称为数列的一个项. a1称为第一项，也称为首项，a2称为第二项，依次类推，an称为第n项. 第n项an中的n称为该项的序号. 例如： 2，4，8，16， 2n, (5) 1/2,2/3,3/4,4/5,，n/n+1, (6) 都是数列.,第一节 数列的概念,如果一个数列的第n项an能用一个含n的解析式来表示，则称这个解析式为这个数列的通项公式. 例如，上述数列(5)的通项公式为2n，数列(6)的通项公式为n/n+1. 一个数列，如果已知它的通项公式，可以据此求出它的每一项.,第一节 数列的概念,反过来，有些数列的变化遵循比较明
3、显的规律，我们也可以通过观察写出它的通项公式. 只有有限多项的数列称为有穷数列.如前面例子中的数列(1),(2),(3),(4). 有无穷多项的数列称为无穷数列. 如前面例子中的数列(5),(6).,第一节 数列的概念,第二节 等 差 数 列,一、等差数列的概念 先看下面两个数列： 1， 3， 5， 7， 9， 11， (1) 10， 7， 4， 1，-2， -5， (2) 这两个数列都有以下特点： 从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于常数.在数列(1)中，这个常数为2，在数列(2)中，这个常数为-3.对于这样的数列，给出以下定义.,定义 如果数列a1，a2，a3，an，从第二项起，每一项
4、与它的前一项的差都等于同一个常数，即 a2-a1=a3-a2=an-an-1= 则称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，它通常用字母d表示. 因此上述数列(1)和(2)都是等差数列，数列(1)的公差d=2，数列(2)的公差d=-3. 特别地，数列2，2，2，2，也是等差数列，它的公差为0.公差为0的数列称为常数列.,第二节 等 差 数 列,二、等差数列的通项公式 如果一个数列a1,a2,a3, ,an,是等差数列，它的公差是d，那么由定义可知 由此可知，如果已知首项和公差，则等差数列an的通项公式可表示为 从上式可以看出，对于等差数列，只要知道了它的首项和公差，就可以求出它的任意一
5、项.,第二节 等 差 数 列,例如，如果一个等差数列an的首项是1，公差是2，那么将它们代入上面的公式，就得到这个数列的通项公式 an=1+(n-1)2 即an=2n-1. 等差数列an的通项公式表示了首项a1、公差d、项的序号n以及第n项an这四个量之间的关系.因此只要知道了其中任意三个量，就可以求出另外一个量.,第二节 等 差 数 列,第二节 等 差 数 列,第二节 等 差 数 列,第二节 等 差 数 列,第二节 等 差 数 列,三、等差中项 一般地，如果在两个数a与b中间插入一个数D,使a，D，b成等差数列，那么D就称为a与b的等差中项. 比如在10与6中间插入一个数8，那么10, 8,
6、6这三个数成等差数列，8就称为10与6的等差中项. 由定义可知，如果a，D，b成等差数列，则 这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数.,第二节 等 差 数 列,第二节 等 差 数 列,四、等差数列的前n项和 想一想 你能用简便的方法计算前100个正整数的和吗? 即1+2+3+4+99+100=? 分析 仔细观察数列 1，2，3，4，96，97，98，99，100. 这100个数可以分成50对，先计算每一对数的和：,第二节 等 差 数 列,然后把每一对数的和101乘以50，便得出前100个正整数的和： 10150=5050 从小到大排成的正整数组成的数列就是一个等差数列.上述问题就是求这
7、个数列的前100项的和. 一般地，我们把等差数列an的前n项的和记作Sn,即 Sn=a1+a2+a3+an,第二节 等 差 数 列,如何求Sn? 从求前100个正整数的和的方法受到启发，我们先计算 然后把这n个等式的左、右两边分别相加，得 2Sn=n(a1+an),第二节 等 差 数 列,由此得出 即等差数列的前n项和等于首、末两项和的一半与项数的乘积. 由于an=a1+(n-1)d，代入上式便得出 如果知道首项a1和公差d，可利用此公式计算等差数列的前n项和. 在这两个公式中，都涉及四个变量的关系，只要知道其中任意三个，就可以求出第四个.,第二节 等 差 数 列,第二节 等 差 数 列,第三
8、节 等 比 数 列,一、等比数列的概念 先看下面两个数列： 1，2，4，8，16， (1) 3，32，33，34，35， (2) 这两个数列有这样的特点： 从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于一个常数.如在数列(1)中，这个常数为2；在数列(2)中，这个常数为3.对于这样的数列，给出下列定义.,定义 一般地，如果一个数列a1，a2，a3，an，从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，即 则称这个数列为等比数列. 该常数称为这个等比数列的公比，它常用字母q表示. 上述数列(1)的公比为q=2；数列(2)的公比q=3. 由于0不能当分母用，因此如果一个数列是等比数列，那么它的任何一项
9、都不等于0，从而公比q0 .,第三节 等 比 数 列,二、等比数列的通项公式 由等比数列的定义可知 由此可知，等比数列的通项公式为 从等比数列的通项公式看出，只要知道首项a1和公比q，就可以求出等比数列的任何一项.,第三节 等 比 数 列,第三节 等 比 数 列,第三节 等 比 数 列,第三节 等 比 数 列,第三节 等 比 数 列,三、等比中项 一般地，如果在两个数a与b中间插入一个数G,使a，G，b成等比数列，那么G就称为a与b的等比中项. 比如在2与8中间插入一个数4，那么2，4，8这三个数成等比数列. 4就称为2与8的等比中项. 如果G是a与b的等比中项，则G/a=b/G， 即 则 容
10、易看出，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.,四、等比数列的前n项和 等比数列an的前n项和Sn为Sn=a1+a2+a3+an. 根据等比数列an的通项公式，等比数列an的前n项和Sn也可以写成 Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 (1) 我们知道，把等比数列的任一项乘以公比，就可得到它后面相邻的一项.现将(1)式的两边分别乘以公比q，得到 qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn (2),第三节 等 比 数 列,比较(1)、(2)两式，我们看到(1)式的右边从第2项到最后一项，与(2)式的右边的第1项到倒数第2项完全相同.于
11、是将(1)式的两边分别减去(2)式的两边，可以消去相同的项，得到 (1-q)Sn=a1-a1qn,第三节 等 比 数 列,当q1时，等比数列an的前n项和的公式为 (3) 因为a1qn=(a1qn-1)q=anq,所以上面的公式还可写成 (4) 很显然，当q=1时，则这个等比数列是a1，a1，a1，a1，,第三节 等 比 数 列,从而它的前n项和是Sn=na1. 求等比数列前n项之和，当已知a1，q，n时，用公式(3)；当已知a1，q，an时,用公式(4).在这两个公式中，都涉及四个量之间的关系，只要知道其中任意三个，就可求出第四个.,第三节 等 比 数 列,第三节 等 比 数 列,第三节 等 比 数 列,
