《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 7-2 拉氏变换的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用数学 教学课件 ppt 作者 方鸿珠 蔡承文 7-2 拉氏变换的性质（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2节 拉氏变换的性质,返回,下一页,上一页,拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换,性质1 (线性性质) 若 a1、a2是常数。且f1(t)=F1(p)，f(t)=F(p)则,La1f1(t)+a2f2(t)=a1Lf1(t)+a2Lf2(t) =a1F1(p)+a2F2(p) (7-2),返回,下一页,上一页,证明,例7-5 求下列函数的拉氏变换： （） （）,解(1),(2),返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,性质2（平移性质）若Lf(t)=F(p) ，则,e at f(t)=F(p-a)(a为常数) (7-3),位移性质表明：象原函数乘以
2、 e at 等于其象函数左右平移a个单位,证明,解 因为,例7-6 求 L t eat , Le -at sin t 和e -at cos t.,由位移性质即得,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,性质3(滞后性质)若Lf(t)=F(p) ，则Lf(ta)=e-apF(p),(a 0) （7-4）,证明,在拉氏变换的定义说明中已指出,当t0时F(t)=0.因此，对于函数f(t-a),当t-a0（即ta）时,f(t-a)=0，所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分,令t-a= ,则,返回,下一页,上一页,滞后性质指出：象函数乘以e-ap等于其象原函数的图形沿 t 轴向右平移 a个单
3、位 。,返回,下一页,上一页,由于函数 f(t-a)是当ta时才有非零数值.故与f(t)相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点,常在 f(t-a)这个函数上再乘u(t-a),所以滞后性质也表示为,返回,下一页,上一页,例7-7 求Lu（ta）,因为 ，由滞后性质得,解,返回,下一页,上一页,例7-8 求,解 如图7-5所示， f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t)=cu(t)+cu(t-a)-2cu(t-3a) ，于是,例7-10 已知,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,由拉氏变换定义来验证：,(7-5),证明 由拉氏
4、变换定义及分部积分法，得,可以证明,在Lf(t)存在的条件下,必有,性质4（微分性质）若Lf(t)=F(p), 并设 f(t)在0,+上连续, 为分段连续，则,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 p ，再减去函数的初始值,应用上述结果，对二阶导数可以推得,同理，可得,以此类推，可得,由此可见,f(t) 各阶导数的拉氏变换可以由 p 的乘方与象函数 F(p)的代数式表示出来.特别是当初值 时,有更简单的结果,（7-7）,利用这个性质，可将 f(t) 的微分方程转化为 F(p) 的代数方程,返回,下一页,上一页,例7-1
5、1 利用微分性质求,解 令,由7-6式，得,即,移项化简得,返回,下一页,上一页,利用上述结果， 及(7-5) 式，可得,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,性质5（积分性质）若Lf(t)=F(p)(p0), 且设f(t)连续，则,（7-8）,证明 令 ，显见 ,且因 ，由微分性质，得,积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 p ,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,例7-12 求 （n是正整数）,解 因为,性质6 若Lf(t) =F(p)，则 a0时 ,有,（7-9）,返回,下一页,上一页,性质7 若Lf(t) =F(p)，则,（7-10）,返回,下一页,上一页,（7-11）,返回,下一页,上一页,性质8 若Lf(t) =F(p),返回,下一页,上一页,例7-13 求,解 因为,
