《建筑力学 教学课件 ppt 作者 周任 徐广舒 建筑力学 第16章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《建筑力学 教学课件 ppt 作者 周任 徐广舒 建筑力学 第16章（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16章 超静定杆系结构的计算位移法,内容提要 本章讨论了位移法的基本概念、基本未知量及基本结构，介绍了等截面直杆的转角位移方程。重点讨论了位移法的典型方程及如何用位移法计算超静定结构，并介绍了对称性的利用问题。 位移法也是超静定结构的基本计算方法之一，与力法有本质的区别，各有其特点，学习时应注意灵活应用。,16.1 位移法的基本概念,由于结构的内力和位移之间存在着确定的对应关系，所以我们也可以用与力法相反的次序来求超静定结构的内力，即先设法求出结构中的某些位移，再利用位移和内力之间确定的对应关系求出结构的内力和其它位移，这就是用位移法求解的基本思路。,图16-1,为了说明位移法的基本概念，我
2、们来研究图16-1(a)所示的刚架。在均布荷载FS的作用下，若忽略AB、AC两杆的轴向变形，其变形如虚线所示。因结点A为刚性结点，所以汇交于该结点处两杆杆端应有相同的角位移Z1，并假设Z1顺时针方向转动。,如果分别考察AB、AC这两根杆件，则其中AB杆件相当于一端固定，另一端铰支，在其固定端A端有顺时针转角Z1的单跨梁，图16-1(b)所示；而AC杆件相当于两端固定，在其A端有顺时针转角Z1，且在均布荷载FS的作用下的单跨梁，图16-1(c)所示。AC杆件的内力可由图16-1(d)和图16-1(e)叠加求得。,AB、AC两根单跨梁的杆端弯矩可由力法算得： MAB=3iZ1 MAC=4iZ1-F
3、Sl2/12 （16-1） MCA=2iZ1+FSl2/12,如果能将结点A处的角位移Z1求出，则各杆杆端弯矩便可按上式确定。为了求得未知角位移Z1，应考虑平衡条件。结点A满足平衡条件MA=0，即 MAB+MAC=0 （16-2） 把式（16-1）中的MAB、MAC代入式（16-2），有 3iZ1+4iZ1-FSl2/12=0,解得：Z1=FSl2/84i（顺时针） 再将Z1回代到式（16-1）中，可得各杆杆端弯矩 MAB=FSl2/28 MAC= FSl2/21-FSl2/12=-FSl2/28 MCA= FSl2/42+FSl2/12=3FSl2/28 在已知杆端弯矩的情况下，可进一步画出
4、刚架的弯矩图，如图16-2(a)所示。再利用静力平衡条件，画出刚架的剪力图和轴力图，如图16-2(b)、(c)所示。,图16-2,显然，位移法解题的关键在于如何确定结点的未知角位移Z1的大小和方向。 通过以上简单的例子，我们可了解到用位移法分析超静定结构的大体过程，即： （1）根据结构的变形分析，确定某些结点位移为基本未知量； （2）把每根杆件都视为单跨超静定梁； （3）根据平衡条件建立以结点位移为未知量的方程，并求位移未知量； （4）由结点位移求出结构的杆端内力。,16.2 位移法的基本未知量及基本结构,16.2.1位移法的基本未知量 用位移法计算超静定结构时，基本未知量是结点位移，因此计算
5、时首先要确定基本未知量的数目，也就是结点位移的数目。 结点位移包括结点的角位移和独立的结点线位移。,1.结点角位移 确定结点角位移的数目比较容易。由于在同一刚结点处的各杆杆端的转角都相等，即每一个刚结点只有一个独立的角位移。因此，结构有几个刚结点就有几个角位移。这样，结点角位移未知量的数目就等于结构刚结点的数目。如图16-3(a)所示结构有2个角位移，图16-3(b)所示结构有1个角位移。,图16-3,2.独立的结点线位移 如果忽略杆件的轴向变形，图16-3(a)中C点和D点的水平位移相等；图16-3(b)中B点和C点的水平位移相等。即刚架只有一个独立的结点线位移。这样，结点线位移未知量的数目
6、就等于结构各结点独立线位移的数目。 由此可知，位移法的基本未知量的数目，就等于结点的角位移数和结点的独立线位移数之和。图16-3(a)所示结构有3个基本未知量，图16-3(b)所示结构有2个基本未知量。,16.2.2 位移法的基本结构,在确定了位移法的基本未知量后，建立位移法的基本结构，可在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动，但不能阻止其移动；在产生线位移的结点上加上附加链杆，以阻止其移动。这样就得到了单跨超静定梁的组合体，也就是位移法的基本结构。附加刚臂和附加链杆统称为附加约束。,(a),(b),图16-4,例如，图16-4(a)所示的刚架，分别在刚结点D、F上各加一个附
7、加刚臂，即结构角位移数为2；在结点F上加一个附加链杆，如果不考虑杆件的轴向变形，结点D、E、F的水平位移相等，那么，加上附加链杆后的结点F就没有水平线位移，结点D、E也将不能移动，即结构独立的结点线位移数为1。因此，原结构共有3个基本未知量。增加了三个附加约束后，原结构就转化为单跨超静定梁的组合体，即用位移法计算时该刚架的基本结构，如图16-4(b)所示。,位移法的基本结构是通过增加附加约束后得到的，一般情况下只有一种形式的基本结构，即单跨超静定梁的组合体。,16.3 位移法的典型方程,16.3.1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力 如上所述，位移法是以单跨超静定梁的组合体为基本结构的，每根单跨超静
8、定梁是位移法的计算单元。因此分析单跨超静定梁在杆端发生转角或移动及荷载作用下的杆端弯矩和剪力是位移法解超静定结构的基础。,我们可以用力法求出不同支承情况下，单跨超静定梁在杆端发生单位角位移、单位线位移时产生的杆端弯矩和剪力；并用同样的方法求出单跨超静定梁在不同荷载作用下的杆端弯矩和剪力。为以后应用方便，我们把等截面单跨超静定梁在各种不同情况下的杆端弯矩和剪力值列于表16-1中。 为计算方便，对正负号作出如下规定，弯矩以对杆端而言顺时针方向为正（对结点或支座而言，以逆时针方向为正）；剪力正负号的规定与静定结构相同。,16.3.2 位移法的典型方程,图16-5,如图16-5(a)所示的等截面超静定
9、连续梁，在荷载P作用下发生虚线所示的变形。其中，结点B为刚结点，杆件AB和杆件BC在结点B处发生的转角相等；支座A为固定铰支座，不会产生水平线位移，忽略杆件的轴向变形，结点B、C也不会产生水平线位移。因此，该连续梁的结点角位移数为1，独立的结点线位移数为0，即结构基本未知量的数目为1。在结点B上加一个附加刚臂，原结构便成为两根单跨超静定梁的组合体，即位移法的基本结构，如图16-5(b)所示。,使基本结构的附加刚臂连同结点B发生一个与实际情况相同的转角Z1，这样基本结构上的位移、受力情况和原结构上的位移、受力情况就完全一样，则可用基本结构的计算来代替原结构的计算。由于原结构没有附加刚臂，所以基本
10、结构由于结点位移Z1和荷载P的共同作用，在附加刚臂上的产生的反力偶应等于零。,设基本结构在结点位移Z1和荷载P的共同作用下，附加刚臂上的产生的反力偶为R1，基本结构由于B结点处发生转角Z1，附加刚臂上的产生的反力偶为R11，基本结构在荷载P的作用下，附加刚臂上的产生的反力偶为R1p，则根据叠加原理，有 R1=R11+R1p=0 (16-3),若令r11表示当B结点处发生单位位移（Z1=1）时引起的附加刚臂上的反力偶，即R11=r11Z1，则上式可写为：r11Z1+ R1p=0。这就是求结点未知位移Z1的位移法典型方程。它的物理意义是：基本结构在荷载和结点位移的共同作用下，附加约束中的反力或反力
11、偶为零。其实质上反映的是原结构的静力平衡条件。,为求解方程，须分别计算方程中的系数和自由项。为此，作基本结构在Z1=1时的弯矩图M1和基本结构在荷载作用下弯矩图Mp（可从表16-1中查出杆端弯矩），如图16-5(c)、(d)所示。由B结点的平衡条件MB=0可求得： r11=3i+3i=6i R1p=-3Pl/16 代入式（16-3），得： 6iZ1-3Pl/16=0 Z1=Pl/32i=Pl2/32EI,求出Z1后，根据叠加原理，按式M=M1Z1+Mp，可得原结构的最后弯矩图，并据静力平衡条件作出剪力图，如图16-6(a)、(b)所示。,图16-6,再以图16-7(a)所示的刚架为例，来进一步
12、说明位移法典型方程的建立和求解过程。步骤如下： 1.确定基本未知量和基本结构 此刚架有两个未知的结点角位移Z1、Z2和一个独立的结点线位移Z3，即基本未知量数为3。分别在刚结点C、D处加附加刚臂，在结点D处加水平附加链杆，便得到如图16-7(b)所示的基本结构。,(a),(b),图16-7,2.建立位移法典型方程 由于原结构没有附加刚臂和附加链杆，所以基本结构由于结点位移Z1、Z2、Z3和荷载FS的共同作用，在两个附加刚臂上的产生的反力偶R1、R2应等于零，在附加链杆上的产生的反力R3也等于零。,若Rip为基本结构由于荷载作用在各附加约束上产生的反力或反力偶，rij表示当结点处发生单位位移（Z
13、j=1）时引起的、对应Zi方向的各附加约束的反力或反力偶，根据叠加原理则有 R1=r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1p=0 R2=r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2p=0 （16-4） R3=r31Z1+r32Z2+r33Z3+R3p=0,上式就是基本未知量数为3时位移法的典型方程。,3.计算方程中的系数和自由项 作基本结构在Z1=1、Z2=1、Z3=1时的单位弯矩图和基本结构在荷载作用下弯矩图Mp（可从表16-1中查出杆端弯矩），如图16-8(a)、(b)、(c)、(d)所示。利用结点或结构的平衡条件求出系数和自由项。,图168,由C结点的平衡条件MC=0得： r11=8i，r1
14、2=2i，r13=-6i/l，R1p=-FSl2/12 由D结点的平衡条件MD=0得： r21=2i，r22=8i，r23=-6i/l，R2p=FSl2/12,图169,根据反力互等定理，可得：r31=r13=-6i/l， r32=r23=-6i/l 把M3图中的杆件CD作为截离体，如图16-9(a)所示。由杆件的平衡条件FX=0得： r33=FSCA+FSDB=24i/l2 其中FSCA=12i/l2，FSDB=12i/l2，分别由杆件AC和杆件BD的平衡条件求得，如图16-9(b)、(c)所示。 再把Mp图中的杆件CD作为截离体，如图16-9(d)所示。由杆件的平衡条件FX=0得： R3p
15、=-P,4.解典型方程 把求得的系数和自由项代入方程式(16-4)，有 8iZ1+2iZ2-（6i/l）Z3-FSl2/12=0 2iZ1+8iZ2-（6i/l）Z3+FSl2/12=0 -（6i/l）Z1-（6i/l）Z2+（24i/l2）Z3-P=0 从而求出Z1、Z2、Z3。（计算结果略）,5.绘制内力图 求出Z1、Z2、Z3后，根据叠加原理，按式M=M1Z1+ M2Z2+ M3Z3+MP，可得原结构的最后弯矩图，并据静力平衡条件作出剪力图和轴力图。,对于具有n个基本未知量的结构，可以加入n个附加约束，得到相应的位移法基本结构，根据每一个附加约束处产生的约束反力或反力偶都等于零的条件，可
16、建立n个方程： r11Z1+r12Z2+r1iZi+r1nZn+R1p=0 r21Z1+r22Z2+r2iZi+r2nZn+R2p=0 （16-5） ri1Z1+ri2Z2+riiZi+rinZn+Rip=0 rn1Z1+rn2Z2+rniZi+rnnZn+Rnp=0 解此方程组，即可求出所有的未知结点位移。,在以上方程组中，主斜线（自左上方的r11至右下方的rnn）上的系数rii称为主系数，它是基本结构由于附加约束i产生单位位移即Zi=1时，在本约束i中所引起的反力或反力偶。位于主斜线两侧的其它系数rij（ij），则称为副系数，它是基本结构由于附加约束j产生单位位移即Zj=1时，在另一约束i中所引起的反力或反力偶。各式中最后一项Rip称为自由项，它是基本结构由于荷载作用，在附加约束i中所引起的反力或反力偶。根据反力
