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1、第8章 有限字长效应,任何数字系统不论是专用硬件，还是用通用计算机软件,实现的，所采用的各种系数以及每次运算过程中的结果,总是存储在有限长的存储单元中，即数字系统的每一个,数都是用有限长的二进制数表示。有限字长的数当然是,有限精度的，因此肯定会有误差。模拟信号经采样成为,有限字长的数字信号时，也有误差。总之，由于有限字,长产生的误差，这会引起系统的性能指标的变化。,有限字长引起的误差主要有以下三个方面:,(1) A/D变化的量化效应（信号量化误差）；,(2)系统函数系数的量化效应（ak、bk系数量化效应）；,(3)运算过程中的有限字长效应（运算误差不仅与字长,有关，还与算法有关）。,前两种是对
2、模拟量量化引起的误差，后一种是在运算过,程中对运算结果作尾数处理引起的误差。,解二进制的表数方法。,上述三种因素造成的影响很复杂，它既与运算方式、,字长有关，又与系统结构密切相关。要同时将这些,因素放在一起分析是很困难的，只能将三种效应分别、,单独的加以分析，计算它们的影响。在分析之前先了,由尾数处理所产生的误差积累起来会使运算精度下降，,在有反馈环节(如IIR系统)情况下，误差的循环影响还,可能引起振荡。,式中括号外下标表示括号里的是二进制数，其中,8.1 二进制表数法对量化的影响,通常的数如 x =1/3=0.3333.用的是十进制数表示，而,数字也可以用二进制数(0或1)表数，例如,(或
3、)表示小数点位， k、i 取值为0或1。,(8.1-2),与十进制数的关系为,下面分别讨论数字系统中最基本的二进制算法的定点制,与浮点制运算及误差。,=122+021+120+021 +122 +123,例 x = 1010112,=5.375,8.1.1、定点制表数及运算误差,小数点在数码中的位置是固定不变的，称为定点制。,通常定点制把数限制在1之间，即1 x 1。,将整数的最后一位作为“符号位”，表示数的正或负，在,其后是小数部分，也称“尾数”。尾数(小数)部分的位数,是有效字长。一般定点制的字长为b+1位，其中b是尾,数(有效)字长，1是符号位。,1之间的数可以用定点二进制数表示为,定点
4、二进制数与十进制数的关系为,(8.1-4a),(8.1-4b),0 x 0,1 x 0,x=012n 2,或 x=112n 2,当二进制数的字长有限时，会有运算误差。,例8.1-1 x1=001002=0.25，,x3=011002=0.75，,解 作尾数字长为四位的两个二进制数的加法：,结果没有无误差。,x1+ x2 = 011012 = 0.8125,结果不正确。,= 0.3125 1.3125，,x2+ x3 =101012,x2=010012=0.5625，,求x1x2 ，x1+ x2， x1 +x3。,作有效字长为四位的两个二进制数的定点乘法：,x1 x2 =0001001002=0
5、.140625,相乘后字长增加一倍，受有限字长（四位）限制，去,除后四位，所以,此例说明虽然定点加法一般无误差，但不能溢出。,(n)= x1 x2=000102=0.125,当实际问题中的数较大时要乘比例因子，以保证所有,定点运算结果的绝对值不大于1。二进制数的定点乘法,没有溢出问题，但字长要增加一倍。当有效字长一定,时，必须对尾数作处理，因此会产生误差。,8.1.2、浮点制表数及运算误差,定点制的不足是动态范围小，有溢出问题。而浮点制,克服了这个缺点，它有很大的动态范围。浮点制将一,个数表示为,精度； C为阶码，其字长决定浮点制的运算动态范围，,其中M是尾数，且M1 ，其字长决定浮点制的运算
6、,C、 M均为二进制数，可以分别有不同的字长。,为了提高运算精度，可采用规格化(归一化)浮点表数,如上例在保证数值不变的前提下，将C1、M1改为 C1 、,例如C1=1002，M1=0112，则对应的二进制数与十进,制数为,法，方法是将尾数的第一位保持为1，即1/2 M1 。,x1=2C1 M1,=210020112,= 240.375,M1 ，即,M1 =1102,式中C1= 0112 ；,=160.375=6,相乘后因字长增加一倍，当尾数字长保持不变时，误,差是显然的，下面仅对加法产生误差说明。,浮点加法运算一般有三个步骤：,1）对位，使两个数的阶码相同；,2）相加；,正是在第三步作尾数处
7、理时产生误差。,3）使结果规格化(归一化)，并作尾数处理。,例8.1.-2 已知阶码字长3位，尾数有效字长为4位，且,求x3 = x1+ x2。,解：对位,x3 = x1+ x2,=2C1M1 +M2 2,C1=1002，M1=010102，C2=0102，M2=011012，,=240.828125=13.35,=210021101012,若尾数保持四位，则,浮点运算的优点是动态范围大，但是不论加、乘法均,有误差。,=240.828125=13.35,=210021101012,=240.8125=13,8.1.3 负数表数法,定点制或浮点制的尾数都是将整数位作为符号位，字长,为b+1位二进
8、制数的一般形式为,因为负数表示形式不同，所以负数的二进码分为原码、,反码、补码三种。,1、原码,二进制数的原码表示为,与二进制原码表示数对应的十进制数为,(8.1-8),0 x 0,1 x 0,例 x1=111002= 0.75，x2=011002= 0.75,值大，以便以大减小。,原码的优点是乘法方便，但加法运算要先判断两数符,号是否相同，若不相同做减法前，还要判断谁的绝对,2、补码 xc,补码是用2的补数 xc 表示负数，xc的十进制的数值计算,公式为,二进制负数的补码一般表示为,对应的十进制数值为,例十进制数x =0.75 10 ，对应的二进制负数的补码为,式中 =1,xc =20.75
9、=1.25,=10100 2,(8.1-11),采用补码后，加法运算方便，不论正、负数、符号位,均参加运算，并去除符号位的进位(若有的话)。,例二进制补码数xc =11100 2 ，对应的十进制数为,x = 1+0.75= 0.25,3、反码 xo,数的反码表示为,二进制负数的反码表示除符号位为1外，其余将该数正,值二进制数表示取反，即0改为1，1改为0。二进制负,例十进制数 x = 0.75， x = 0.75=01100 2 ；,式中 =1,则xo = 10011 2 。,反码与补码表示有一简单关系：补码等于反码最低位,加1，即,所以反码对应的十进制数为,xc =xo +2b,(8.1-1
10、3),8.1.4、截尾与舍入产生的误差,对尾数处理方法不同，产生的误差不同。,1、定点截尾,(1) x 0 ，不论原、补、反码表示相同。,系统有效字长为b位(b b1)位，截尾后,Qx= 012b2,若实际数据 x=12b12,当上式中所有i =0（b+1 i b1），没有误差；,而当所有i =1 （b+1 i b1），误差(绝对值)最大,为,得到定点截尾的误差范围为,截尾误差ET =Qxx,=2(b+1) + 2(b+2) +2b1 10,=(2b 2b1) 10 2b,(2b 2b1) ET0,(8.1-14),q 是最小码位所表示的数值，称为“量化间距”或“量化,阶”。所以正数截尾的误差
11、范围还可表示为,(2b 2b1) ET0,一般2b 2b1 ，并记 2b为 q ，即,2b= q,(2) x 0，原码,若实际数据,系统有效字长为 b 位 ( b b1 ) 位，截尾后,截尾误差 ET =Qx x,x=112b 2,得到定点截尾原码的误差范围为,(8.1-16a),当上式中所有i =0(b+1 i b1)，没有误差；,而当所有i =1 (b+1 i b1)，误差(绝对值)最大为,或,(8.1-16b),0 ET q,=2(b+1) + 2(b+2) +2b1 10,=(2b 2b1) 10 2b,0 ET (2b 2b1),(3) x 0，补码,系统有效字长为b位(b b1)位
12、，截尾后,截尾误差,ET =Qx x,Qx =1 2 b2,(8.1-17a),误差范围,当上式中所有i =0（b+1 i b1），没有误差；,当所有i =1 （b+1 i b1），误差（绝对值）最大,或,(8.1-17b), q ET 0,ET =Qx x,(2b 2b1) ET0,ETm = (2b 2b1) 2b,c. x 0，反码,截尾误差,共有b1 位，系统有效字长为 b 位 (b b1)位，截尾后,Qx =11 2 b2,ET =Qx x,(8.1-18a),当上式中所有i =0（b+1 i b1），没有误差；,当所有i =0 （b+1 i b1），误差(绝对值)最大,0 ET (
13、2b 2b1),i =1,b+1 ib1,i =0,b+1 ib1,(2b 2b1) (2b 2b1)=0,2b 2b1 2b,所以误差范围为,定点截尾误差范围：,x0,x0 补码,x0 原码,x0 反码,2、定点舍入,因为舍入处理是按最接近的数量化，不论正、负，也,特性如图所示。,2b/2 Qxx 2b/2,3、浮点,在浮点制中截尾与舍入的处理只受尾数字长影响，但所,例如 x1、x2 是两个位数不同但阶码相同的数：,产生的绝对误差 E= Q x x 却与阶码有关。,=10.5625=0.5625,=80.5625=4.5,若尾数字长b=2取两位，则,可见在相同的尾数舍入情况下，由于x2比x1
14、大8倍，相,误差与数值本身大小有关。,Qx1=20002 102,E1 =Qx1 x1 = 0.0625，,E1 = 0.0625；,应的绝对误差 E1就比E1大8倍，即浮点制中绝对,E2 =Qx2 x2 = 0.5，,E2 = 0.5；,=10.5=0.5,=80.5=4,Qx2=20112 102,所以在浮点制中用相对误差比绝对误差更能反映运算精,度和特点。相对误差定义为,(8.1-19),绝对误差与相对误差的关系,上式表明，相对误差的实质是去掉阶码的影响。,这是个乘性误差，而定点制的误差是加性误差。,与定点一样经分析可以得到误差范围， 直接给出相对,误差 的误差范围。,浮点截尾相对误差范
15、围：,(8.1-22),原码、反码： 22b 0 (8.1-21),22b 0,0 22b x 0,8.2 模拟信号量化的误差分析,8.2.1、A/D变换的量化误差,A/D变换示意图如图所示。,假设 x(n) = xa(nT)是无限精度的理想定点制A/D变换的,转换器的输出，即量化输出。二者的误差为,E = Q x(n) x(n),当二进制数采用补码，量化是截尾处理，则定点补码截,尾的量化误差范围为,定点舍入原码的量化误差范围为,化特性分别如图8.1.-1、图8.1.-2所示。,式中 q 为量化间距。定点补码截尾与定点舍入原码的量,8.2.2、量化误差的统计分析,尽管式(8.2-1)(8.2-2)给出了量化误差范围，但要精确分,析误差的大小及其影响既不可能也无必要。实际考虑量,化误差影响时，只要了解其平均效应，即可作为设计的,依据
