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1、控制系统数字仿真与CAD 控制系统数字仿真的实现,张晓华 教授 /博士生导师 E-mail:xh_,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统常见的典型结构形式 ：,SISO,SISO feedforward,SISO feedback,MIMO,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的典型环节：,比例环节,惯性环节,惯性比例环节,积分环节,积分比例环节,二阶振荡环节,高阶线性环节,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的连接矩阵：,根据图中 u i 、y i拓扑连接关系，可逐个写
2、出每个环节输入u i 受哪些环节输出y i 的制约和影响。,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的连接矩阵：,W 称为联接矩阵 W0 称为输入联接矩阵 u = u1 ，u2 ， , un y = y1 ，y2 ， , yn ,仔细研究联接矩阵W ，可从其元素值直接看出各环节之间联接情况。 w i j = 0, 环节j不与环节i相连； w i j 0, 环节j与环节i有连接关系； w i j 0, 环节j与环节i直接相连 ( w i j = 1 ) 或通过比例系数相连 ( w i j为任意正实数 ) ； w i j 0, 环节j与环节i直接负反馈相连 ( w i j = 1 ) 或通过比例系数负
3、反馈相连 ( w i j 为任意负实数 ) ； 特殊地：w i i 0, 环节 i 单位自反馈 ( w i i = 1或w i i = 1 ) 或通过比例系数自反馈 ( w i i 为任意实数 ) ；,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,控制系统最常见的典型闭环系统结构,系统的开环传递函数 G ( s ) ，可按照能控标准型写出其开环状态方程：,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,控制量,由,再由：y= CX,其中：A b = A bVC,仿真
4、模型一旦确立，就可以着手考虑求解与编程实现,知： f ( t , X ) = A b X + b r,为对应n个状态变量,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,最后，再由：,求得t k + 1 时刻状态 X k + 1 ， 立即可得输出相应时刻值： y k + 1 = C X k + 1,构成一个完整的仿真程序，必须至少建立： 1.输入数据块 2.初始化块 3.运行计算块 4.输出结果块,例4-1求图4-8所示系统的阶跃响应 y (t) 数值解：,解：该系统结构形式为典型闭环控制系统，用sp4_1.m求解过程如下： 取开环放大系数k = 1 ，反馈系数 v = 1 (单位反馈系统)
5、，阶跃输入幅值r = 1； 利用conv ( )卷积函数功能，先将系统开环传递函数G ( s ) 化为 式 (2 4 ) 传递函数形式的分母 、分子多项式系数向量： a 0 , a 1 , , a n 和 b 0 , b 1 , , bm ； 设系统状态向量初值 x1 0 , x2 0 , , x n 0 均为零； 系统运行参数n 0 = 4 , t 0 = 0 , t f = 10 , h 0 = 0.25； 按以上步骤和参数，在MATLAB语言环境下，输入命令语句,面向系统结构的数字仿真,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,复杂联接的闭环系统结构图计算机仿真的基本思路是：
6、 与实际系统的结构图相对应，在计算机程序中也应构出方便表示各实际环节的典型环节，并将环节之间的联接关系输入计算机，由计算机程序自动形成闭环状态方程，运用数值积分方法求解响应。,常见环节完全可用一个通用一阶环节,设： 输入向量U = u 1 , u 2 , . . , u n T ； 其中各分量表示各环节输入量 输出向量Y = y 1 , y 2 , . . , y n T； 各 分量表示各环节输出量。,模型参数阵：,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,于是系统中所有环节输出、输入关系统一用矩阵表示如下：( A + B s ) Y = ( C + D s ) U,各环节输入ui
7、与输出yi有以下关系：,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,整理为矩阵形式：,U = W Y + W0 y0,其中：,将式(4-7)代入式(4-6)，则： ( A + B s ) Y = ( C + D s ) ( W Y + W y0 ) 整理，得： ( B D W ) sY = ( C W A ) Y + C W0 y0 + D W0 s y0 简洁表达为： Q sY = R Y + V1 y0 + V2 s y0 其中： Q = B D W R = C W A V1 = C W0 V2 = D W0 若Q 阵逆存在，则式(4-9)两边同时左乘Q 1 ，得： sY = Q
8、 1 R Y + Q 1 V1 y0 + Q 1 V 2 s y0 两边反拉氏变换，求得系统闭环状态方程时域表达式：,A b = Q 1 R ; b 1 = Q 1 V 1 ； b 2 = Q 1 V 2 为闭环系统的系数阵和输入阵,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,建立该系统仿真模型中应注意两点：, 保证Q 阵有逆。, 去掉 项,仿真程序框图与实现,(1) 系统参数输入方法,(2) 联接矩阵输入方法,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,程序框图,通常可按以下经验数据选择四阶龙格库塔法的定步长值：,为系统开环频率特性的剪切频率,或,t r 为系统阶跃响应的
9、上升时间,ts为系统阶跃响应的调节时间（过渡过程时间）,h0的选取应小于系统中最小时间常数的两倍，即： h02,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,设连续系统状态方程为,其中,为状态初始值.,则由现代控制理论基础知，状态变量X(t)的解为,其中：(t)为状态转移矩阵,当状态方程为线性定常时，(t)为矩阵指数形式：,或： e A t = L-1( s I A ) 1 ,于是：,连续系统状态解中，当 t = k T 时，上式成为,环节的离散化与非线性系
10、统的数字方真,连续系统的离散化模型：,而 t = ( k + 1 )T 时，可表为,所以： X(k+1)T ) = ( T ) X ( k T ) + m ( T ) u ( kT ) 是典型的离散系统一阶差分方程组。 其中： ( T ) = e A T , 为t = T 时的状态转移矩阵,X k + 1 = ( T ) X k +m ( T ) u k,数值求解递推公式：,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,若希望递推公式精度更高些，应该考虑到在两次采样时刻kT 、(k+1)T 之间 u ()一直在变化，用一阶保持器近似更为合理，如图,将 u () 表为随 u k (
11、 ) 变化的函数： u ( ) = u ( kT ) + u k ( ) 而 u k ( ) 又可用下式近似表达：,于是代入式(4-11)中积分项重新推导,其中：,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,利用式(4-14)就可以编程进行对某连续系统的仿真运算了。事先应离线求取, ( t ) = e A t,再令阵中 t = T ,立即得离散化矩阵( T ) 、m ( T )、j ( T ),若已知连续系统状态方程各阵模型参数 (A、B、C、D) 以及采样周期T，则语句： F ，G = c2d ( A , B , T ) 返回的矩阵F 、G 就是所要求的( T ) 、m (
12、T ) 。 如果考虑精度高一些的、输入加了一阶保持器的算法，则在求得F 、G 后，再用一条组合语句： H = ( ( inv ( A ) ) 2 ) * ( F eye (n) ) * B T * B ； 得到的矩阵H 就是所要求的j ( T ) 。语句中所用的求取公式为： j ( T ) = A 2 ( T ) I B TB,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,语句调用格式如下： Ad ,Bd ,Cd ,Dd =c2dm( A , B , C , D , T , 选项 ) ； 与其它转换方式类似地，语句： A , B = d2c ( F ,G , T ) ； A ,
13、B , C , D =d2cm( Ad , Bd , Cd , Dd，T , 选项 ),典型环节状态方程的离散化,下面考虑如何把典型环节连续模型化为离散模型，使离散化仿真模型也能面向复杂连接系统的结构图,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,按离散化步骤，应有：,其中：, 积分环节：,A = 0 ，B = 1 ，C = K ，D = 0,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,所以,状态与输出递推式为：, 积分比例环节：,A = 0 ，B = 1 ，C = K ，D = bK,由于A，B，C均与 相同，故(T ) 、m (T ) 、j ( T ) 和
14、c 与 完全相同，相应状态方程也完全相同。,但因D0，只有d 不同，所以应注意输出方程成为： y k + 1 = x k + 1 + K b u k + 1,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,离散化环节参数表,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,按环节离散化数字仿真程序与实现,典型环节数据输入后，首先判断A是否为0，即可分出 、 和 、 两组，这两组对应的状态方程离散化系数 (T) 、m (T ) 和j (T ) 求取方法各自相同，可以直接套用相同求解公式求取后存入相应单元。但由于对应输出方程各有不同，故又需判断D是否为0，从而对输出方程离散化
15、系数c 、d加以修正后，也存入相应单元。 各环节离散化系数求得后，结果存入相应数组单元FI(I)、FIM(I)、FIJ(I)、FIC(I)以及FID(I)，其中：I表示环节序号。仿真运行时从各环节相应单元取出，分别求取各环节状态与输出即可。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,求 t = ( k + 1 ) T 时刻的各环节状态 X k + 1 的递推计算式中要用到 u k 、,而求 t = ( k + 1 ) T 时刻的各环节输出Y k + 1 的递推计算式中还要用到 u k + 1, u k 可通过联接矩阵直接求得，即：Uk = W Yk +W 0 y 0, 利用近似表达式求取, u k + 1 利用上面已求得的Uk 、,在一个步长h内按一阶保持近似关系求取。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,非线性系统的数字仿真,饱和非线性,2.死区非线性,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,3.滞环非线性,4.继电非线性,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,非线性特征的判断,利用按环节离散化的仿真程序，在输入数据时，设
