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1、- 1 - 无锡市无锡市 2019 届高三上学期期中考试届高三上学期期中考试 数学试题数学试题 一、填空题一、填空题 1.已知全集 ，集合则 【答案】 0，2，4 【解析】 【分析】 根据集合补集与并集的定义求结果. 【详解】. 【点睛】本题考查集合补集与并集概念，考查基本求解能力，属基础题. 2.函数的定义域为_. 【答案】 （，2） 【解析】 【分析】 根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得结果. 【详解】由题意得，即定义域为（，2）. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属基础题. 3.已知则实数 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数与对数运算法则求解 【详解
2、】因为所以 由得 - 2 - 【点睛】本题考查指数与对数方程，考查基本求解能力，属基础题. 4.设函数若则 【答案】2 【解析】 【分析】 根据关系求结果. 【详解】因为，所以， 因为则 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力，属基础题. 5.已知向量的夹角为，则的值为_. 【答案】7 【解析】 【分析】 根据向量数量积定义以及向量模的定义求结果. 【详解】因为向量的夹角为，所以, 因此 【点睛】本题考查向量数量积以及向量模，考查基本求解能力，属基础题. 6.若实数满足条件则的最大值为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最大值取法，即
3、得结果. 【详解】先作可行域，如图，则直线过点 A(1,2)时取最大值 4. - 3 - 【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可 行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般 情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 7.已知定义在区间上的函数的最大值为 4，最小值为 ，则 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦函数性质确定最值取法，再解方程组得 a,b，即得结果. 【详解】因为，, 所以，, 从而 【点睛】本题考查正弦函数性质，考查基本求解能力，属基础题. 8.已知函
4、数在 上单调递增，则实数 的取值范围为_. 【答案】 （0,1 【解析】 【分析】 根据分段函数单调性列不等式，解得结果. - 4 - 【详解】因为函数在 上单调递增，所以 【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 9.已知则的值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据诱导公式以及二倍角公式化简求值. 【详解】令，则， 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本求解能力，属基础题. 10.九章算术中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一 尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的
5、两边分别打洞穿墙， 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 荆 州古城墙某处厚 33 尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第_天 （用整数作答） 【答案】6 【解析】 由题意得 11.在中，点 是线段上任意一点，是线段的中点，且，则 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量表示得，再根据向量分解唯一性得，即得结果. 【详解】因为是线段的中点，所以， 因为点 是线段上任意一点，所以可设, - 5 - 从而 因为，所以 【点睛】本题考查向量表示，考查基本求解能力，属基础题. 12.设为正实数，且，则的最小值为_. 【答案】27 【解析】 【分析】 先
6、根据条件解得 x,再化简，最后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以 因此 当且仅当时取等号，即的最小值为 27. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 13.定义为 个正数的“均倒数”.若已知数列的前 项的“均倒数”为又 ，则 【答案】 【解析】 【分析】 先根据定义得数列的前 项的和，再根据和项与通项关系得 ，即得，最后根据裂项相减法求结果. 【详解】因为数列的前 项的“均倒数”为， 所以， 当时， 作差得，因为，所以， , - 6 - += 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法， 裂项相消法适用于
7、形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和， 常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 14.已知函数在上的零点为，函数在上的零点为则的范围为 _. 【答案】 （1，） 【解析】 【分析】 先求，并确定 范围，进而确定，最后利用导数求单调性，根据单调性确定取值范围. 【详解】由得,因为,所以, 因此,因为从而， 因此，令, 则,所以（1，）. 【点睛】求范围或值域问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问 题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不
8、等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域. 二、解答题二、解答题 15.已知 （1）若与垂直，求实数 的值； （2）三点构成三角形，求实数 的取值范围. 【答案】(1) k7 (2) （，5）U（5，） 【解析】 【分析】 - 7 - (1)根据向量垂直坐标表示列式，解得结果，(2)根据与不共线，列不等式，解得结果. 【详解】 （1）因为与垂直，所以，0， 即（5，5）（6，k+1）0 即：305（k+1）0，解得：k7 （2）依题意，得 A，B，C 三点不共线，即与不共线， 即 5（k+1）30，解得：k5 所以，实数 的取值范围（，5）U（5，） 【点睛】本题考查
9、向量垂直与平行，考查基本求解能力，属基础题. 16.在四棱锥中，已知分别是的中点，若是平行四边形， (1)求证：平面 (2)若平面，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1) 取 PA 中点 E，根据平几知识可得四边形 BMNE 为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结论，(2)先 根据线面垂直判定定理得 AC平面 PAB，即得 ACBE，再根据平行关系得结果. 【详解】 （1）取 PA 中点 E，连结 BE，NE 因为 N 为 PD 中点，所以，ENAD，且 EN AD， 又 M 为 BC 中点，是平行四边形，所以 BMAD，且 BM AD， 所以，BMEN 且 B
10、MEN 所以，四边形 BMNE 为平行四边形， 所以，MNBE，而 MN 平面 PAB，BE平面 PAB 所以，MN平面 PAB。 - 8 - （2） ACAB， PA平面 ABCD，PAAC PAABA，AC平面 PAB， BE平面 PAB，ACBE 由（1）知，BEMN，ACMN 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 17.已知的三个内角的对边分别为，且 （1）求角 的值； （2）若边上的中线的长为，求面积的最大值. 【答案】 (1
11、) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理化为角的关系，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得，即得结果，(2)根据 余弦定理以及基本不等式得 ABAD13，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】 （1）因为 由正弦定理，得： 即 化简，得： 即：，所以，A 。 （2）因为 BD 为 AC 边上的中线， - 9 - 所以，SABC2SABDABADsin ABAD 又由余弦定理，得：BD2AB2+AD22ABADcos AB2+AD2ABADABAD 所以，ABAD13 所以，SABCABAD13 当 ABAD 时，面积有最大值 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据
12、正、余弦定理以 及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18.有一块圆心角为 120 度，半径为 的扇形钢板( 为弧的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具 ，其下部为等腰三角形，上部为矩形.设五边形的面积为 . （1）写出 关于 的函数表达式，并写出 的取值范围； （2）当 取得最大值时，求的值. 【答案】(1) S R2sin（4cos1） （0 ）(2) 【解析】 【分析】 (1)根据直角三角形解得矩形的长与宽以及等腰三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形 面积公式求结果，最后根据实际意义确定 的取值范围；(2)利用导数求函数最值. 【详解】
13、（1）如图，设 OP 与 CD、AB 交于 M，N 两点， - 10 - 为弧的中点，则 M 为 CD 中点，OPAB， OMOCcosRcos，CMOCsin=Rsin，则 EFCD2CM2Rsin POB AOB60，OBN30， 所以，ON OB R， CFMNOMONRcos R 所以，SCDCF+ EFON2Rsin（Rcos R）+ 2Rsin R R2sin（4cos1） （0 ） （2）设 f（）sin（4cos1） ，则 0 因为 0 ，所以， 由表可知，当 S 取得最大值时， 【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据 函数单调
14、性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小在应用题中若极值点唯一， 则极值点为开区间的最值点. 19.已知数列满足 为正常数. - 11 - （1）求证：对于一切恒成立； （2）若数列为等差数列，求 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)根据绝对值定义分类讨论，利用作差法证明结论，(2)先探求数列为等差数列的一个必要条件 ，再根据绝对值定义讨论，确定 的取值范围. 【详解】 （1） 当时，0 当时，0 当时，40 综上所述，0，所以， 对于一切恒成立； (2)由（1）得，所以 取正整数，则当时，有， 由（1）得此时因此若数列为等差数列，则， 当
15、时，, 所以,满足，因此当时,有，满足题意， 当时， 所以,矛盾，舍去， 当时，当时,有，满足题意 综上， 的取值范围为 【点睛】本题考查等差数列概念及其应用，考查分类讨论思想与综合分析求解能力，属难题. - 12 - 20.已知函数 （1）若求曲线在处的切线方程； （2）若求函数的单调区间； （3）若求证： 【答案】(1) (2)增区间(3)见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果， （2）先求导数，再利用导数研 究导函数分子符号，进而确定单调性， （3）先根据条件确定函数单调性，再利用导数研究函数最大值的单调 性，根据单调性确定最大值的最大值小于-1，即得结果. 【详解】 （1）当 0 时， 切点（1,0） ，切线的斜率：k 所求的切线方程为： （2）， 则， 当时， 当时， 所以 因为，所以， 即函数的单调增区间为，无减区间. (3) 因为，所以由（2）得， 因为， 所以存在，使得， - 13 - 从而可得， 设，则， 即 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号， 确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路 为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩
