《控制工程基础 教学课件 ppt 作者 陈瑞华 主编 1_第2章 控制系统的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制工程基础 教学课件 ppt 作者 陈瑞华 主编 1_第2章 控制系统的数学模型（137页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 控制系统的数学模型,主编,第2章 控制系统的数学模型,2.1 控制系统的微分方程 2.1.1 列写控制系统微分方程的步骤 2.1.2 建立微分方程举例 2.1.3 非线性微分方程的线性化 2.2 传递函数 2.2.1 传递函数的定义 2.2.2 传递函数的性质 2.2.3 典型环节的传递函数 2.3 系统结构图 2.3.1 结构图的组成 2.3.2 系统结构图的画法 2.3.3 系统结构图的等效变换,2.3.4 结构图等效变换举例 2.4 系统信号流图及梅逊公式 2.4.1 信号流图 2.4.2 梅逊公式 2.5 控制系统的传递函数 2.5.1 系统开环传递函数 2.5.2 系统闭环传
2、递函数 2.5.3 闭环系统的误差传递函数,2.1 控制系统的微分方程,2.1 控制系统的微分方程,2.1 控制系统的微分方程,2.1.1 列写控制系统微分方程的步骤,2.1.1 列写控制系统微分方程的步骤 1)全面了解系统的工作原理、结构、组成和支配系统运动的物理规律，确定系统和各元件的输入量和输出量。 2)从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依此列写它们的微分方程。 3)将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程。 4)将该方程整理成标准形式。,3)将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输
3、出量的微分方程。,图2-1 RC无源网络,2.1.2 建立微分方程举例,解 根据电路理论中的基尔霍夫定律，可以写出,图2-2 两级RC滤波网络,解 根据电路理论中的基尔霍夫定律，可以写出,解 根据基尔霍夫定律，可以写出下列方程组,可见，无源网络的动态数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。,图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统,例3设有弹簧质量阻尼器动力系统，如图23所示，当外力作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移之间的动态方程。,图2-4 电枢控制的他励直流电动机原理示意图 电枢电阻 电枢电感 电枢反电流 电枢输入电压 固定激磁电流 电枢反电势 电动机转角 f电动机轴上的
4、粘性摩擦系数 负载力矩,例4列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程。以电枢电压为输入量，以电动机的转角为输出量。 图24是电动机原理示意图，设电枢的重量G及电枢直径D均为已知。当电枢两端加上电压u a后，产生电枢电流I a，随即获得电磁转矩M m，驱动电枢克服阻力矩，带动负载旋转，同时在电枢两端产生反电势 b，削弱外电压的作用，减小电枢电流，保持电动机作恒速转动。,式(217)和式(219)分别是以转角和角转速为输出量的电动机动态方程。 考虑到电动机中的a一般较小，可以忽略不计，则式(217)和式(219)分别简化为,在实际使用中，电动机转速n常以r/min来表示，这时经换算，式(223)亦可
5、表示成为,2.1.3 非线性微分方程的线性化,从上述例子可以看到，系统的数学模型都是线性常系数微分方程，它的一个重要性质是具有齐次性和叠加性。,2.1.3 非线性微分方程的线性化,图2-5 非线性特性,2.1.3 非线性微分方程的线性化,设非线性函数yf(x），其特性曲线如图25所示。,设x、y在平衡点(x 0、y0)附近作增量变化，即,式(225)是线性方程，常称为原非线性方程的线性化增量方程。 若取非线性函数f(x)在x0处的泰勒级数的一阶增量项，即,2.1.3 非线性微分方程的线性化,略去高阶无穷小量，则,这种线性化方法称小偏差法或增量法。 当然，非线性函数f(x)在x0处连续可导，是小
6、偏差线性化方法可用性的前提条件。,2.1.3 非线性微分方程的线性化,图2-6 铁心线圈,例5铁心线圈如图26所示，列写出u为输入，电流i为输出的微分方程。并以(u0,i0)为平衡点，试建立线性化增量方程。,2.1.3 非线性微分方程的线性化,图2-7 铁心线圈的磁链曲线,由基尔霍夫定律可写出,式中，L为感应电动势，等于线圈中磁链的变化率，即,铁心线圈的磁链是线圈电流的非线性函数，如2 7所示。 将式(227)代入式(226)，得 ,解 由基尔霍夫定律可写出,图说,2.2 传递函数,1)微分方程的阶次越高，其求解就越困难。 2)对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且要
7、分析系统的结构、参数与其性能间的关系。,2.2.1 传递函数的定义,传递函数的定义为：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换式与其输入量拉氏变换式之比，即为线性定常系统的传递函数。即,如果系统的输入量为r(t)、输出量为c(t)，并由下列微分方程描述,在零初始条件下，对方程两边进行拉氏变换,2.2.1 传递函数的定义,整理上式并根据传递函数的定义有,由以上推导过程可见，在零初始条件下，只要将微分方程中的微分算子d(i)/dt(i)换成相应的s(i)，即可得到系统的传递函数。式(231)为传递函数的一般表达式。,2.2.2 传递函数的性质,1)传递函数是由微分方程变化得到的，它和微分方程之间存在着
8、一一对应的关系。 2)传递函数是由拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性变换，因此传递函数只适用于线性定常系统。 3)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统(或元件)的运动情况。 4)传递函数只与系统本身的结构和参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。 5)传递函数是复变量s的有理分式，它的分母多项式的最高阶次总是大于或等于分子多项式的最高阶次，即nm。 6)传递函数是一种运算函数。,2.2.3 典型环节的传递函数,1.比例环节 2.积分环节 3.理想微分环节 4.惯性环节 5.比例微分环节 6.振荡环节 7.延迟环节 延迟环节又称纯滞后环节，其输出量与输入量变化
9、形式相同，但要延迟一段时间。 8.运算放大器 图2-18为运算放大器的线路图。,1.比例环节,比例环节的微分方程为,式中 K常数，称为放大系数或增益。,比例环节的传递函数为,比例环节的框图如图28所示。,1.比例环节,图2-8 比例环节,2.积分环节,积分环节的微分方程为,积分环节的传递函数为,式中 T积分时间常数。,积分环节的框图如图29所示。,2.积分环节,图2-9 积分环节框图,3.理想微分环节,式中 微分时间常数。 其传递函数为,理想微分环节的微分方程为,其框图如图210所示。,3.理想微分环节,图2-10 理想微分环节框图,3.理想微分环节,解 输入或d/dt，输出是u，在零初始条件
10、下对上式进行拉氏变换，得,图2-11 测速发电机传递函数框图,图说,解 输入或d/dt，输出是u，在零初始条件下对上式进行拉氏变换，得,图2-12 积分环节,解 由电压关系知,4.惯性环节 惯性环节的微分方程为,式中 T惯性时间常数。 惯性环节的传递函数为,惯性环节框图如图213所示。,图2-13 惯性环节框图,图2-14 比例微分环节框图,5.比例微分环节,比例微分环节的微分方程为,其传递函数为,比例微分环节的框图如图214所示。 可见，比例微分环节的传递函数恰与惯性环节的传递函数相反，互为倒数。,5.比例微分环节,图说,6.振荡环节,振荡环节的微分方程为,其传递函数为,6.振荡环节,图2-
11、15 振荡环节框图,振荡环节的框图如图215所示。,6.振荡环节,图2-16 RLC串联电路,6.振荡环节,7.延迟环节 延迟环节又称纯滞后环节，其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间。,延迟环节微分方程为,式中0延迟时间。 延迟环节的传递函数为,若将e0s按泰勒级数展开，得,7.延迟环节 延迟环节又称纯滞后环节，其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间。,图2-17 延迟环节框图,8.运算放大器,图218为运算放大器的线路图。由于运算放大器的开环增益极大，输入阻抗也极大，所以把A点看成“虚地”，即UA0，同时i0及i1-if。于是有,8.运算放大器 图2-18为运算放大器的线路
12、图。,图2-18 运算放大器电路图,8.运算放大器 图2-18为运算放大器的线路图。,图2-19 比例微分调节器,解 由图可知,求图219所示电路的传递函数。 解 由图可知,其传递函数为,2.3 系统结构图,2.3.1 结构图的组成,系统的结构图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成。它们的图形如图220所示。现分别介绍如下：,2.3.1 结构图的组成,图2-20 结构图的图形符号 a)功能框 b)引出点及信号线 c)比较点,1.功能框 。,如图220a所示，框左边向内箭头为输入量(拉氏变换式)，框右边向外箭头为输出量(拉氏变换式)，框内为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。它们的
13、关系为,2.信号线,信号线表示信号流通的途径和方向。流通方向用箭头表示。在系统的前向通路中，箭头指向右方，信号由左向右流通。因此输入信号在最左端，输出信号在最右端。,3.引出点,如图220b所示，它表示信号由该点取出，从同一信号线上取得的信号，其大小和性质完全相同。,4.比较点(又称综合点),图2-21 典型自动控制系统结构图,如图220c所示，其输出量为各输入量的代数和。因此，在信号输入处要注明它们的极性。 图221为一典型自动控制系统的结构图。,2.3.2 系统结构图的画法,1)列出系统各环节(部件)的微分方程，并求得其传递函数。 2)一个环节(部件)用一个功能框表示，在框中填入相应的传递
14、函数。 3)根据信号的流向，将各功能框依此连接起来，并把系统的输入量置于系统结构图的最左端，输出量置于最右端。,3)按信号流向依此连接，就得到图2-22c所示的系统结构图。,2)根据上述四式，作出它们对应的框图，如图2-23a所示。,图2-22 图2-1所示系统的结构图,2.3.3 系统结构图的等效变换,1.串联等效变换 2.并联等效变换 当系统中有两个或两个以上环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。 3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。 4.引出点和比较点的移动 引出点和比较点的等效移动见表2-1所示。,1.串联等效变
15、换,图2-23 图2-2所示系统的结构图,当系统中有,1.串联等效变换,两个或两个以上环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积。即,等效变换图如图224a、b所示。,图2-24 串联结构的等效变换 a)变换前 b)变换后,2.并联等效变换,当系统中有两个或两个以上环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。即,等效变换图如图225a、b所示。,3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,图2-25 并联结构的等效变换 a)变换前 b)变换后,3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-
16、26b所示。,图2-26 反馈联接等效变换 a)变换前 b)变换后,由图226a的信号传递关系可写出,3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,消去E(s) ， B(s)得,或,3.反馈联结等效变换 图2-26a所示为反馈联结的一般形式，其等效变换的结构如图2-26b所示。,式(243)为反馈联结的等效传递函数，一般称它为闭环传递函数。式中分母中的“+”号对应于负反馈，“-”号对应于正反馈。,4.引出点和比较点的移动 引出点和比较点的等效移动见表2-1所示。,表2-1 引出点和比较点等效移动对照表,2.1.2 建立微分方程举例,图说,4.引出点和比较点的移动 引出点和比较点的等效移动见表2-1所示。,图2-27 引出点和比较点之间不能移动,2.3.4
