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1、第2章 平面汇交力系,内容提要本章主要介绍了用解析法推出的平面汇交力系平衡条件，以及平衡条件的应用。 2.1 平面汇交力系的概念和实例 2.1.1 概念 实际工程中，作用在构件或结构上的力系是多种多样的。但是，按照力作用线的分布情况，主要分为两类力系：凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系；凡各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。 在平面力系中， 各力作用线交于一点的力系，称为平面汇交力系；各力作用线互相平行的力系，称为平面平行力系；各力作用线任意分布的力系，称为平面一般力系。,、,、,2.1.2 实际工程中的平面汇交力系问题 平面汇交力系是力系中最简单的一种，在工程中有很多
2、实例。例如，起重机起吊重物时(图2-1a)，作用于吊钩C的三根绳索的拉力,都在同一平面内，且汇交于点，就组成了平面汇交力系(图2-1b)。又如三角支架当不计杆的自重时(图2-2a)，作用于铰B上的三个力FN1、FN2、,也组成平面汇交力系(图2-2b)。,图2-1 图2-2,又如图2-3a)所示的屋架，它通常被看作为由一些在其两端用光滑圆柱铰互相连接的直杆组成，而且由于各杆的自重比屋架所承受的各个荷载小很多而可忽略不计，因此每根直杆都在作用于其两端的两个力的作用下处于平衡。当以各个铰结点(或称节点)为研究对象时，与结点相连接的各杆作用于该节点上的力也组成一个平面汇交力系。例如，图2-3b)就是
3、结点C的受力图，它构成了一个平面汇交力系。,图2-3 研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另一方面也为研究更复杂的力系打下基础。,2.2 平面汇交力系的合成,平面汇交力系的合成问题可以采用几何法和解析法进行研究。其中，平面汇交力系的几何法具行直观、简捷的优点，但其精确度较差，在力学中用得较多的还是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影的计算为基础。,2.2.1合力投影定理 我们在第一章已讨论了力在坐标轴上的投影规则和方法。现在 我们来讨论汇交力系各力投影与汇交力系合力投影之间的关系。 设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的 点，如图2-4a) 从任一点A作力多边形A
4、BCD，如图2-4b)所示，,则矢量 就表示该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x如图所示，把各力都投影在x轴上，并令FX1、FX2、FX3和RX分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图2-4b)可见,图2-4,而,因此可得,这一关系可推广到任意汇交力的情形，即,由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。,（2-2）,2.2.3用解析法求平面汇交力系的合力 当平面汇交力系为已知时，如图2-4所示，我们可选直角坐标系，求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影RX、RY，从图2-5中的几何关系可
5、见合力R的大小和方向可由下式确定：,（2-3）,式中,为合力R与x轴所夹的锐角，,角在哪个象限由FX和,。,图2-5 图2-6 例2-2 如图2-7所示，已知F1=20kN，F2=40kN，如果三个力F1、F2、F3的合力R沿铅垂向下，试求力F3和R的大小。,号来确定，具体,FY的正负,详见图2-6所示。合力的作用线,通过力系的汇交点,得,图2-9,解得,又由,得,即,解得,即,解 取直角坐标系如图所示。因已知合力R沿y轴向下，故RX=0，RY= -R。由式(2-2)知,2.3 平面汇交力系平衡条件 从上面章节可知，平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然物体在平面汇交力系的作用下保持平衡，则该
6、力系的合力应等于零；反之，如果该力系的合力等于零，则物体在该力系的作用下，必然处于平衡。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是平面汇交力系的合力等于零。而根据式（2-3)的第一式可知,上式,与,恒为正数，要使R=0，必须且只须,所以平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。式(2-4)称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。,（2-4）,2.4 平面汇交力系平衡方程的应用 例2-3 平面刚架在C点受水平力P作用，如图2-8a)图所示。已知P=30kN，刚架自重不计，求支座A、B的反力。,图2-8,解
7、取刚架为研究对象，它受到力P、RA和RB的作用。这三力平衡其作用线必汇交于一点，故可画出刚架的受力图如图2-10b)所示，图中RA、RB的指向是假设的。 设直角坐标系如图，列平衡方程,解得,得负号表示RA的实际方向与假设的方向相反。再由,由于列,一起代入，即将,代入，于是得,得正号表示RB假设的方向正确。 为了形象地表示支座反力的方向，可在反力答数后面加一括号标出反力的实际方向。,时，,RA仍按原假设的方向求其投影，故应将上面求得的数值,连同负号,例2-4 一结构受水平P作用如图2-11a)所示。不计各杆自重，求三根杆AB、BC、CA所受的力。,解 杆AB、BC、CA两端铰接，中间不受力，故三
8、根杆都是二力杆。 先取铰链C为研究对象，假定杆CA、BC都受拉，画出铰C的受力图如图2-11b)所示。 设直角坐标系如图，列平衡方程,图2-11,(a),由式(a)、(b)解得,FNCB的结果为负值，表示其指向与假设的相反，杆BC应是受压；FNCA得正号，表示杆CA受拉。 再取铰链B为研究对象，假定杆BC、AB受拉，画出铰B的受力图如图2-11c)所示。杆BC是二力杆，故它对两端铰链的作用力，应当是大小相等，方向相反，用FNBC表示，FNBC =FNCB。 设直角坐标系如图，列平衡方程,原假设杆BC受拉，得,，将其代入式(c)，于是得,正号表示杆AB受拉。 通过以上各例的分析，可知用解析法求解
9、平面汇交力系平衡问题的步骤一般如下: 1选取研究对象。 2画受力图 约束反力指向未定者应先假设。 3选坐标轴 最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。 4列平衡方程求解未知量 列方程时注意各力的投影的正负号。当求出的未知力为负数时，就表示该力的实际指向与假设的指向相反。,(b),(c),小 结,平面汇交力系是最简单的力系，也是基本力系之一，它解决问题的方法在其他力系中仍要采用，一定要掌握好。 1平面汇交力系的合成 合成方法有两种，一是几何法，二是解析法。几何法直观、明了，但不太实用。实际工程中多采用解析法，因此应重点掌握。 2合力投影定理 合力在某轴上的投影等于力系中各力在同一轴上投影
10、的代数和。 3平面汇交力系的平衡条件 (1)平衡的几何条件是力多边形自行封闭。 (2)平衡的解析条件是力系中各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零。平衡方程为：,这两个方程式相互独立，可根据计算需要任意选择。选择依据是一个方程解出一个未知数，尽量避免联立方程求解。 4解题步骤 (1)首先进行受力分析，根据解决问题的需要确定研究对象，画出受力图； (2)画出坐标系，列出平衡方程式，在列平衡方程式时要注意力投影的正负号。,思考题,1. 分力与投影有什么不同? 2. 如果平面汇交力系的各力在任意两个互不平行的坐标轴上投影的代数和等于零，该力系是否平衡? 习 题 2-1 如题2-1图，某桁架接头，由四
11、根角钢焊接在连接扳上而成。已知作用在杆件A和C上的力为FA2kN，FC4kN，并知作用在杆B和D上的FB、FD力作用的方向，该力系汇交于O点。求在平衡状态下力FB、FD的值。(答：FB2.83kN,FD3.46kN)。,题2-1图 题2-2图 2-2 如题2-2图所示，一个固定在墙壁上的圆环受三条绳的拉力作用。F1沿水平方向，F2与水平线成400角，F3沿铅垂方向。三力大小分别为：F1200kN，F2250kN，F3150kN。求这三力的合力。(答：F500kN，(F，F1)38027，(F，F3)51033),题2-4图,题图2-3,2-3 如题2-3图，一均质球重W100kN，放在两个相交
12、的光滑面之间。斜面AB的倾角为,450，斜面BC的倾角为,2-4 如题2-4图，用两根绳子AC和BC悬挂一个重W1kN的物体。绳AC长0.8m，绳BC长1.6m，A、B两点在同一水平线上，相距2m。求这两根绳子所受的拉力。(答：FA0.974kN，FB0.684kN) 2-5 梁AB的支座如题2-5图所示。在梁的中点作用一力F2kN，力和梁的轴线成450角。若梁的重量略去不计，试分别求a)和b)两种情形下的支座反力。(答：a)FA1.58 kN，FB0.71kN b) FA2.16kN，FB0.82kN),题2-5图,-600,，求两斜面的反力FD和FE的大小。,2-6 如题2-6图，压路机滚
13、子重W20kN，半径R40cm，今用水平力F拉滚子而欲越过高h8cm的石坎，问F力应至少多大?又若此拉力可取任意方向，问要使拉力为最小时，它与水平线的夹角应为多大?并求此拉力的最小值。(答：F15kN，arctan ，Fmin12kN),2-7 求题2-7图所示三铰钢架在水平力F作用下所引起的A、B两支做的反力。(答：FAFK,F),题2-6图 题2-7图 题2-8图,2-8 相同的两根钢管C和D搁放在斜坡上并在两端各用一铅垂立柱挡住，如图2-8所示。每根管子重4kN求管子作用在每一立柱上的压力。(答：F2.31kN) 2-9 如在上题中改用垂直于斜坡的立柱挡住管子时，立柱所受的压力又应为多大?(答：F2kN) 2-10 压榨机ABC,在A铰处作用水平力F，在B点为固定铰链。由于水平力F的作用使C块压紧物体D。若C块与墙壁光滑接触，压榨机尺寸如2-10图所示。试求物体D所受的压力FR。,
