《信号与系统 教学课件 ppt 作者 王瑞兰第3章 傅里叶变换和系统的频域分析 第三章(4)傅里叶变换的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统 教学课件 ppt 作者 王瑞兰第3章 傅里叶变换和系统的频域分析 第三章(4)傅里叶变换的性质（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习,1、傅里叶变换非周期信号的频谱 2、几种常用的非周期信号的频谱,任一信号可以有两种描述方法：,时域的描述 频域的描述,本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一 域中所引起的效应。,为简便，用 表示时域与频域之 间的对应关系，即,3.5 傅里叶变换的性质,一、 线性,若,则对于任意常数 和 ，有,傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。,线性性质有两个含义：,1、齐次性 它表明，若信号 乘以常数 （即信号增大 倍），则其频谱函数也乘以相同的常数 （则其频谱 函数也增大 倍）；,2、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信 号的频谱函数之和。,二、 奇偶性,下面研究时间
2、函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。,如果 是时间 的实函数，那么根据：,其中频谱函数的实部和虚部分别为：,频谱函数的模和相角分别为：,1、若 f(t) 是时间 t 的实函数，则频谱函数 的 实部 是角频率 的偶函数，虚部 是角频率 的奇函数， 是 的偶函数， 是 的奇函数。,2、如果 是时间 的实函数，并且是偶函数，则,频谱函数 等于 ，它是 的实偶函数。,4、 的傅里叶变换,考虑到 是 的偶函数， 是 的奇函数， 故：,若 f(t) 是时间 t 的实函数,将以上结论归纳起来是：,如果 是 的实函数，且设,则有（1）,（2）,（3）,如果 是 的虚函数，则有,（1）,（2）,三、 对称性,若
3、则,证明: 傅里叶逆变换式,将上式中的自变量 换为 ，得,将上式中 的换为 ，将原有的 换为 ，得,上式表明，时间函数 的傅里叶变换为 。,例如，时域冲激函数 的傅里叶变换为频域的 常数 ；由对称性可得，时域的常数 的傅里叶变换为 ，由于 是 的偶函数，故有,例3.5-1 求取样函数 的频谱函数。,解: 我们已知，宽度为 ，幅度为 的门函数 的频谱函数为 ，即,取 ，即,则：,根据傅里叶变换的对称性质:,其波形如下图所示 ：,例3.5-2 求函数 和 的频谱函数。,解 （1）函数,我们已知 ：,由对称性并考虑到 是 的奇函数，可得：,由对称性并考虑到 ，得,根据线性性质，时域频域分别乘以 得：
4、,（2）函数,我们已知：,四、 尺度变换,尺度变换特性为 ：若,上式表明，若信号 在时间坐标上压缩到原来的 ，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽 倍，同时其幅度减小到原来的 ,称为尺度变换 特性或时域展缩特性。,则对于实常数 ，有,令 ，则 , , 当 时,当 时 :,若令 ，得,五、 时移特性,上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延时 ），其在频域中所有频率“分量”相应落后一相位 ，而其幅度保持不变。,令 ，则上式可以写为,同理可得：,证明：若 ，则延迟信号的傅里叶变换为,如果信号既有时移又有尺度变换则有：,和 为实常数，但 .,显然，尺度变换和时移特性是上式的两种特殊情况， 当 时得 ，当
5、 时得,例 3.5-3求图 (a)所示信号的频谱函数。,(a) f(t)的波形； (b) 相位谱,解,练习： 如下图（a）所示的函数是宽度为 的门函数， 即 其傅里叶变换 ， 求图（b）和（c）中函数 和 的傅里叶变换。,例3.5-4 若有5个相同的脉冲，其相邻间隔为T，如图 所示，求其频谱函数。,解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为 ，其 频谱函数为 ，则图中的信号可表示为：,根据线性和时移特性，它的频谱函数为：,上式为等比数列，利用等比数列求和公式及欧拉公 式得：,由上式可以看出，当 （m=0，1，2，）时，,也就是说，在处 ，其频谱函数的幅度是 的 5倍，这是由于在这些频率处,5个单个脉
6、冲的各频率“分 量”同相的缘故。,另外，当 （m为整数，但不等于5的倍数）时 ，式中分子为零，从而 ，这是由于5个单脉冲 的各频率“分量“相互抵消的缘故。,当脉冲个数无限增多时（这时就成为周期信号）， 则除 的各谱线外， 其余频率“分量”均等于零，从而变成离散谱。,由图可见，当多个脉冲间隔为T重复排列时， 信号的能量将向 处集中，在该频率 处频谱函数的幅度增大，而在其他频率处幅度减小，甚至等于零。,一般，若有N个波形相同的脉冲（N为奇数，中 间一个，即第 个位于原点），其相邻间隔为T， 则其频谱函数为 :,式中 为单个脉冲的频谱函数。,六、 频移特性,上式表明:将信号 乘以因子 ,对应于将频谱
7、函数沿 轴右移 ;将信号 乘以因子 ,对应于将频谱函数沿 轴左移 。,证明:,同理:,根据尺度变换，令 ，得,再由频移特性得,例3.5-5 如已知信号 的傅里叶变换为 ， 求信号 的傅里叶变换。,解:按 的顺 序求它们的 傅里叶 变换。,频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅，同步 解调等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移 的原理如下图所示：,它是将信号 （常称为调制信号）乘以所谓载频信号 或 ，得到高频已调信号 ，即,根据线性和频移特性，高频脉冲信号 的频谱函数,显然，若信号 的频谱为 ，则高频已调信号 或 的频谱函数为：,可见，当用某低频信号 去调制角频率为 的 余弦（或正弦）信号
8、时，已调信号的频谱是包络线 的频谱 一分为二，分别向左和向右搬移 ， 在搬移中幅度谱的形式并未改变。,七 、卷积定理,时域卷积定理,若,频域卷积定理,若,则,式中,则,时域卷积定理证明如下：根据卷积积分的定义,其傅里叶变换为,由时移特性知,将它代入到上式得,例3.5-6 求斜升函数 和函数 的频谱函数。,解: （1） 的频谱函数,我们已知,根据频域卷积定理，可得 的频谱函数,即,（2） 的频谱函数,因为,而,利用线性性质可得,八、 时域微分和积分,设,时域微分定理,若 则,证明：,时域积分定理,证明 ：,这里,若 , 则,这个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即先将所求的函数求导，求出其
9、导数的傅里叶变换，再利用积分特性求出所求信号的频谱。,这是因为若设 ，则有,*在求某函数 的傅立叶变换时，常常先将其求导，设其导数为 它的傅立叶变换为 ，再利用积分特性求得所求函数 的傅立叶变换。 但对某些函数，虽有 ，但有可能,例 35-7 求三角形脉冲 的频谱函数。,这类题直接用定义作非常麻烦,因此可考虑将其先求导,再利用积分性质来求。,图 3.5-7 f (t)及其导数,解:如图，将三角脉冲求两次导变成,上图（c）中的函数由三个冲激函数组成，它可以写为：,由于 ，根据时移特性,显然有 。,利用式 得 ：,例 3.5-8求门函数的积分 的频谱函数。,解： 门函数的频谱为,由于 ，由式 得,
10、例3.5-9 求下图(a)和(b)所示信号的傅里叶变换。,解: （1）方法一:,图（a）的函数为,图（b）的函数可写为,方法二:先求导,再积分的方法.,由图可见 和 的导数均如 图（c）所示。,或者,根据,得:,九、 频域微分和积分,频域微分：,频域积分：,式中,如果有 ，则有,证明：,频域微分：,证明：,频域积分：,例3.5-10求斜升函数 的频谱函数。,解: 单位阶跃信号及其频谱函数为,由式 可得,例3.5-11 求函数 的频谱函数。,解:,由于 ，显然有,根据频域积分特性:,例3.5-12 求 的值。,解: 我们已知，门函数,令 (a0)，,若 ，则 ，于是得到,十、 能量谱和功率谱,信号的频谱是频域中描述信号特征的方法之一,此外还可用能量谱和功率谱来描述信号的频域特征。,1、能量谱:,若信号为实信号，则：,能量信号的能量在频域的分布状况可用能量谱来描述,称为能量谱密度，简称能量谱。用 表示。,能量谱,上式称为帕斯瓦尔方程或能量等式。,能量谱,可见，信号的能量谱是 的偶函数，它只决定于频谱函数的模，而与相位无关。,功率谱,2、功率谱 对功率信号，信号功率在频域的分布状况可用功率谱密度来描述，简称功率谱，用 表示。,可见，信号的功率谱是 的偶函数，它只决定于频谱函数的模，而与相位无关。,本节小结,1、掌握傅里叶变换的性质 2、重点掌握性质的应用,傅里叶变换的性质,
