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1、离散信号与系统,第4章,第4章 离散信号与系统,信号处理系统也可以分为连续系统和离散系统，用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散系统，数字计算机就是典型的离散系统。与连续时间系统相比，离散系统具有许多优越的特点。它们可以很灵活地利用电荷转移器件、声表面波器件、通用数字计算机或高速微处理器等各种技术手段加以实现。另外，在信号传输的可靠性、信号的计算精度及系统的可集成化程度等方面，离散系统都具有较大优势，因此，在通信工程和自动化控制等领域，离散系统正逐渐取代连续系统，占据主导地位。,z变换是一种对离散信号和系统进行分析的重要数学工具。前面两章介绍的傅里叶变换和拉普拉斯变换可以将连续系统时域的微分
2、方程变换到频域的代数方程，大大简化了分析计算过程。与之相似，z变换可以将离散系统的差分方程变换为z域上的代数方程，使其求解过程得以简化。,本章将讨论一种重要的离散信号的变换域方法 z 变换。另外我们将讨论离散系统的分析方法包括时域分析法和变换域分析法。在本章最后，我们将给出离散序列的傅里叶变换DTFT。,4.1 z 变换,4.1.1 z 变换定义及其收敛域,（4.1. 1）,1z 变换的定义,z 变换的定义可以通过对抽样信号进行拉普拉斯变换得到。考虑对连续信号进行理想抽样，抽样间隔为，则抽样信号的表示式为：,对上式取双边拉普拉斯变换，得到：,（4.1. 2）,X (z)即为离散序列x (n)的
3、双边z变换(n=0,1,2,), 记为Z x (n)。考虑实际中的离散信号均有起始时刻，我们通常把信号的起始时刻记为n=0。对于因果信号而言，n0时，信号无定义，此时X (z)定义如下，称为序列x (n)的单边z变换(n=0,1,2,)。,我们引入一个新的复变量 z ，令 ，再令抽样间隔Ts=1，则上式变为：,（4.1. 3）,（4.1. 4）,（4.1. 2）,2z变换的收敛域,满足上述收敛条件的复变量z的取值范围称为离散序列x (n)的z变换的收敛域（ROC）。,根据离散序列x (n)的z变换的定义式（4.1. 3）可知，只有当式中的无限求和级数收敛时，序列x (n)的z变换才存在。而级数
4、收敛的充分必要条件如下：,（4.1. 5）,式（4.1.5）的左边为一正项级数，通常我们采取两种方法来判定此正项级数的收敛性比值判定法和根值判定法。所谓比值判定法，是指通过对正项级数 中的后项与前项之比值的极限是否小于1来判定级数的收敛性，即,z变换的收敛域实际上是讨论变量 z 的取值范围，由于 z为一复变量，因此其取值范围为复平面上的某一平面区域。在收敛域内，z变换及其导数是 z 的连续函数，即z变换函数在其收敛域内处处解析。,（4.1. 6）,（4.1. 5）,1则级数发散，=1无法判断级数的收敛性。,1则级数发散，=1无法判断级数的收敛性。所谓根值判定法，是指通过对正项级数中一般项 |a
5、n|的n次根的极限是否小于1来判定级数的收敛性，即,（4.1.7）,根据离散序列x (n)的形式不同，其z变换的收敛域形式也有所不同，下面我们通过上述判定级数收敛性的方法对几种序列的z变换收敛域分别讨论如下：,显而易见，此时X (z)为有限项之和的形式，只要每一项的取值有界，其累加和必然有界。又因 为x(n)(n1nn2) 的值为有限值，因此只要变量z满足0|z| ，就可以保证X (z)收敛，即有限长序列的z变换收敛域为整个z平面。但这里还必须注意|z|是否可以等于0或。考虑下列两种情况：,（1）有限长序列,有限长序列x (n)只在有限区间（n1nn2）内具有非零的有限值，在此区间之外x (n
6、)的取值均为零，其 z 变换为：,（4.1. 8）,图4- 1给出了一个有限长序列及其z变换收敛域的示意图。,当n1 0时，由于式（4.1.8）的累加和中包含一项 ，如果|z|=，则此项为大， ，即X (z) 不存在，因此|z|。,当n2 0时，由于式（4.1. 8）的累加和中包含一项 ，如果|z|=0，则此项为无穷大， ，即X (z)不存在，因此|z|0。,图4- 1有限长序列及其收敛域,（4.1. 8）,若要令累加和 收敛，则要求,（2）右边序列,若x (n)只在 nn1时有值，nn1时，x (n)为零，这种序列称为右边序列，即x (n)只在时域上某点n1的右边离散点处定义，即其z变换为：
7、,（4.1. 9）,（4.1. 10）,另外还需注意的是，如前面所分析过的，当 n1 0时|z|，此时z变换收敛域为Rx1 |z|。若n1 0，由于|z|可以为无穷大，此时z变换收敛域为Rx1 |z|。,即右边序列的z变换的收敛域为：,（4.1. 11）,显然，右边序列的z变换收敛域是在z平面上，以原点为圆心，Rx1为半径的圆周之外， Rx1 的大小由序列函数 x (n)决定。,（4.1. 10）,（4.1. 9）,图4- 2给出了一个右边序列及其z变换收敛域的示意图。,图4- 2右边序列及其收敛域,n1 0时|z|,n1 0，|z|可以为无穷大,（3）左边序列,若 x (n)只在nn2时有值
8、，nn2时，x (n)为零，这种序列称为左边序列，即 x (n)只在时域上某点n2的左边离散点处定义，其z变换为：,（4.1. 12）,令m = -n，上式可写成如下形式：,（4.1. 13）,若要令式（4.1.13）收敛，需要 ，即左边序列z变换的收敛域为：,显然，左边序列的z变换收敛域是在z平面上，以原点为圆心，Rx2为半径的圆周之内， Rx2 的大小由序列函数 x (n)决定。,另外还需注意的是，当n2 0时|z|0 ，此时z变换收敛域为0|z| Rx2 。若 n2 0，z变换收敛域为0|z| Rx2 。,图4- 3左边序列及其收敛域,n2 0时|z|0 0|z| Rx2,n2 0，0|
9、z| Rx2,（4.1. 13）,若左右两个序列的z变换收敛域不存在交集，即Rx2Rx1 ，则双边序列的z变换收敛域不存在。,（4）双边序列,双边序列 x (n)在-n+的范围内均有定义。可以把它看做一个右边序列和一个左边序列之和的形式，其z变换如下：,（4.1. 14）,如上式所示，双边序列的z变换可以分解为一个右边序列的z变换和一个左边序列的z变换之和的形式，因此双边序列z变换的收敛域为左右两个序列的z变换收敛域的交集部分，即Rx1|z|Rx2 。,图4- 4给出了一个双边序列及其z变换收敛域的示意图。,图4- 4双边序列及其收敛域,【例4-1】若序列 x (n)=an u (n)，求其
10、z 变换和收敛域。,【解】这是一个右边序列，由 z 变换定义可得：,这是一个无穷项的等比数列求和，只有在|az-1|a| 时此无穷项的等比数列累加和可以得到闭合形式的表达 ：,由上式可以看出，X(z)的零点在z = 0处，极点在z = a 处，在图中分别用圆圈“”和叉“”标识出来。收敛域及零极点如图4- 5所示。,图4- 5 x (n)=an u (n) 的收敛域,此无穷项的等比数列累加和的收敛条件为|b-1 z| 1，即z变换的收敛域为|z|b|此时等比数列累加和可以得到闭合形式的表达式：,【例4-2】若序列 x (n)=-bn u(-n-1) ，求其z变换和收敛域。,【解】这是一个左边序列
11、，由z变换定义可得：,收敛域及零极点如图4- 6所示。,图4- 6 x (n)=-bnu(-n-1)的收敛域,由例4-1和例4-2，可以看出两个不同序列的z变换形式完全相同，而其收敛域不同。因此当需要利用X (z)通过z逆变换求取序列 x (n) 时，仅考虑X (z)的表达式形式是不够的，还必须通过其收敛域，来判断X (n)的序列形式。,图4- 5 x (n)=an u (n) 的收敛域,【例4-3】 若序列x (n)=an u (n) - bn u(-n-1)，其中0ab ，求其z变换和收敛域 。,【解】这是一个双边序列，其z变换可以看成两个单边序列的z变换之和的形式：,当a|z|b 时，上
12、式中两个等比数列的级数均收敛，得到：,X (z)有两个极点（z=a, z=b）和两个零点（z=0, z=(a+b)/2）， 其收敛域如图4-7所示。,图4- 7 x (n)=anu(n)-bnu(-n-1) 的收敛域,4.1.2 典型序列的z变换,下面给出一些典型序列的 z 变换，这些典型序列的z变换形式可以在求解其他问题时作为已知量使用。,1单位脉冲序列,根据 z 变换定义，我们有：,(4.1. 15),类似于冲激函数(t)的拉普拉斯变换，单位脉冲序列(n)的z变换等于1。,2单位阶跃序列,根据z变换定义，我们有：,当|z|1时，该级数收敛，得到u (n)的z变换及其收敛域为：,（4.1.
13、16）,存在一个零点z=0和一个极点z=1。,3.单边指数序列,单边指数序列定义为：x (n)=an u (n) ，由【例4-1】知：,（4.1. 17）,图4- 8 单边余弦序列,4.单边正弦与余弦序列,单边余弦序列 cos(0 n ) u(n)如图4- 8所示。,首先我们求单边指数序列(ej0 )n u (n)的z变换，根据刚才已经求得的单边指数序列的z变换形式，将a= e j0代入，得到,将上式分解成实部和虚部相加的形式，即：,（4.1. 18）,又根据欧拉恒等式可知,的z变换可以分解成如下形式：,由z变换的线性性质,（4.1. 19）,比较式（4.1. 18）和式（4.1. 19），可
14、知,（4.1. 20）,（4.1. 21）,表4-1 列出了一些典型序列的z变换及其收敛域。,表4-1 一些典型序列的z变换,4.2 z逆变换,若已知某时间序列的z变换为X(z)，由X(z) 还原出序列 x(n)的过程称为z逆变换，记为x(n)=Z -1 X(z)。计算z反变换的方法有三种，分别是部分分式展开法、幂级数法和围线积分法。本小节主要介绍部分分式展开法和幂级数法，其中部分分式展开法更为常用。,4.2.1 部分分式法,在实际应用中，一般X(z)均可写成 z 或 z-1的有理分式的形式，在求解z反变换时，更习惯使用 z-1作为变量，X(z) 的有理分式形式如下：,上式中分子的最高阶为m，
15、分母的最高阶为n，首先我们考虑mn的情况。,（4.2. 1）,（1）若的所有极点均为一阶的，则X (z)可做如下分解：,（4.2. 2）,式中pi是X(z)的极点，Ai是部分分式的系数，可通过下式计算：,（4.2. 3）,（2）若X(z)有r重极点，不失一般性，可设极点p1为r阶重极点，其余(n - r)个极点均为一阶，此时X (z)展开为：,（4.2. 4）,式（4.2. 4）等号右边的第一项累加式为与r阶重极点pi 相关的部分分式，系数Bj可通过下式计算：,（4.2. 5）,(4.2.6),式（4.2. 4）等号右边的第二项累加和是与其它（n - r）个一阶极点相关的部分分式，其系数Aj通过式（4.2. 3）进行计算。,若式（4.2. 1）中的分子阶高于分母阶，即m n ，则需要先将分子与分母进行长除，将X (z)分解成一个多项式和一个真分式相加的形式，即：,此时， 的阶低于A(z)，对真分式 按上述方法进行部分分式展开。,在式（4.2. 2）和式（4.2. 4）这两种展开式中，部分分式的基本形式是 和 。再结合z变换的收敛域，它们的逆变换形式可通过表4-1 查表得 到。然后再利用z变换的线性特性，根据式（4.2. 2）或式（4.2. 4）将这些分式的逆变换形式进行线性组合，即可得到X(z)的逆变换形式。,
