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1、ThemeGallery PowerTemplate,4-2 傅立叶级数,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,傅立叶级数的概念,三角型傅立叶级数的求解,内容安排,4-2-1 两个问题,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,4-2-4 物理建模与傅立叶级数,4-2-1 两个问题,在前一讲中曾经指出，在一般线性最小二乘模型中，如果基函,构成，则函数,可以表示为基函数的线性加权组合，即,数由不同频率分量的正弦函数集,（4-2-1）,4-2-1 两个问题,其中，对于均匀分布数据，加权系数由下列公式计算,下面先提出两个问题，从而展开傅里叶级数理论。,（4
2、-2-2）,4-2-1 两个问题,问题1：,哪些函数,可以用,和,形式描述？,的加权组合,根据欧拉（Euler）公式，,和,可以写成复指数函数形式,反之，复指数函数,也可以用,和,表示，即,（4-2-3）,（4-2-4）,4-2-1 两个问题,因此，问题1的等价问题就是针对常数,，哪些函数,可以用,首先，注意到式（4-2-5）中对于每个整数,，,是以,为周期的，所以等式右端必然是以,为周期的。除非,以,为周期，否则不可能用式（4-2-5）描述,。另一方面，一个,为周期的充分连,下式进行描述 ：,已知的结论（后面将要讨论）告诉我们，每个以,续的函数都可以用（4-2-5）式表示。,（4-2-5）,
3、4-2-1 两个问题,问题2：,假设已知某一特殊函数哪些函数,表示，那么系数,可以用,的值是什么？,解决这个问题并不困难，但需要一点技巧。因为式（4-2-5）是一,)，且由无穷多个方程（每个时间t对应一,，q是整数（例如q=21，则,），当,时可以利用如下关系：,个涉及无穷多个未知数(,例如，假设求解,个方程）构成的系统。如若对于每一个未知数，设法将该系统化简,为一个简单方程，则问题就变的可解了。,(4-2-5),4-2-1 两个问题,因为,故对于任意整数k，有,因此,由此可见，利用上式可以从式（4-2-5）中消去所有,的,项。要做到这一点，可将式（4-2-5）等式两端同乘,，并从,到,求积分
4、，即,（4-2-6）,（4-2-7）,4-2-1 两个问题,由式（4-2-6）可知，式（4-2-7）的等式右端对于,的所有,这是一个带有一个未知数,的简单方程，解出,为：,以此类推，若用任意整数,置换q，则有,现在，我们已经求出式（4-2-5）中全部的（傅立叶级数）系数，,项都为0，因此有,并且可以回答问题1了。,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,在针对不同类型的函数构建它们的傅立叶级数展开之前，需要首 先说明什么是分段连续函数。 分段连续函数是指，如果一个函数 f(t) 除去一些跳变的不连续点 之外处处连续，则这个函数就是分段连续的。例如图4-2-1所示函数 f(t) 除去 t =1 和 t
5、 =2.5 两点，其它点都处处连续。,图4-2-1 分段连续函数,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,如果一个函数 f(t) 在,处存在跳变点，则需要定义从,左边和,右边逼近,时的 f(t) 的取值，这些值分别是,和,。如果函数 f(t) 在,处是连续的，则,然而在跳变点处，,。比如图4-2-1中，f(1)就不等于,和,。另一方面，函数 f(t) 在跳变点的值有时用跳变点的,，在图4-2-1中，,处就是这种情况。,中点值代替，也就是取,定理4-2-1（傅立叶级数）,如果 f(t) 是以,为周期的周期函数，若令 f(t)及,在,区间内分段连续。则对所有,，当且仅当（if and only if ）
6、,时，对所有整数 k 存在,式（4-2-9）中的系数,一般为复常数，称为函数 f(t) 的指数型,傅立叶系数，而式（4-2-10）则称为函数 f(t) 的指数型傅立叶级数。,（4-2-9）,（4-2-10）,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,例4-2-1 函数 f(t) 的图形如图4-2-2所示，试确定其傅立叶级数,图4-2-2 函数 f(t) 的图形,的系数。,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,解：根据傅里叶级数理论,对于 k=0,对于,因为,和,在当,为奇数时值为 -1，当 k 为偶数时值为 +1,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,所以,根据式（4-2-1
7、0），f(t) 傅里叶级数展开为,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,例4-2-2 函数,是以,为周期的函数，所以它有傅,立叶级数展开式。试讨论傅立叶系数的计算方法。,解：如果根据傅立叶级数的系数公式直接求傅立叶系数,，,但若利用 Euler 公式，将 f(t) 转换成复指数描述，则有：,需要计算如下积分：,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,与傅立叶系数公式（4-2-9）比较，可见上式右端已经成为典型,的形式，故其系数为,周期函数的傅立叶系数是唯一的。在对问题2的讨论中已经体现,的傅立,的指数型傅立叶级数展开，即,了这一点。本例中利用Euler公式直接得到了,叶级数展开，自然没有必要再应用系数公
8、式计算积分了。,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,设函数,对所有,均为实数。,的什么结论呢？,。若在式（4-2-11）中代入,，则,一个数当且仅当与其复数共轭相同时才是实数。因此 f(t) 是实数,f(t) 为实数。,据此可以得到关于傅里叶系数,当且仅当,可知当且仅当,（4-2-12）,式（4-2-12）中第二个等式右端的和式中用,替代了-k ，这样做,到,上所有的整数，而 -k 也遍历了,是合理的，因为 k 遍历了从,所有整数。,讨论题4-2-3,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,由于傅里叶系数的唯一性(定理1中的“必要only if”部分)，对所有,，也就是,和,是复数共轭对时，式（4-2
9、-12）,，f(t)是实数等价于对所有整数,例如，,，其中,是一个实值函数并且,和,是复数共轭对。,k 值当且仅当,结论：对所有,中的后两个求和式对所有 t 才是相等的。,有,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,讨论题4-2-4,设函数,是以,为周期的周期函数。,为周期的周期函数（例如函数,既以,为周期也以,为周期）。据此可以得到关于傅里叶系数,的什么,，则可知当且仅当,假定它也是以,结论呢？,在式（4-2-13）中代入,函数 f(t) 是,周期函数。,（4-2-14）,4-2-2 周期函数的傅立叶级数,因此，当 k 是偶数时，,及,显然成立。但是当 k,并且只有当,时,才成立。,是,周期函数等
10、价于对所有的奇数,有,例如,，其中,显然对所有奇数 k 有,。,为奇数时，,结论：,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,利用定理1，可以容易地得到一些推论。在这些推论中，假设函数,是分段连续的，且对所有t有,推论1 2l周期函数,f(t)及其一阶导数,（4-2-15）,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,其中,式中,是函数的基波角频率。,，所以,的周期为2l。至于式（4-2-16）中的系数,，可以用下,证明上述结论并不困难，因为有,式直接得到：,用同样的方法也可以推导出式（4-2-8）。,（4-2-16）,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,式（4-2-15）和式（4-
11、2-16）给出的复指数型傅立叶级数形式可,应用欧拉公式，有,将上式代入式（4-2-15），得到,推论2 三角型（正弦和余弦）傅立叶级数,以利用欧拉公式直接将其转换为正弦和余弦函数型的三角级数。,对,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,当 k=0 时，和式为：,当,时，因为,和,，,故有,同理，当,时，有,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,以此类推，可以得到,对上式中的系数，若令,注意，式中并未规定,和,必须为实数，因此,可能为实数。,将式（4-2-18）中的系数代入式（4-2-17），得到,（4-2-17）,（4-2-18）,（4-2-19）,4-2-3 2l周期函数和三角型
12、傅立叶级数,式（4-2-19）称为函数 f(t) 的三角型傅立叶级数，其中系数,称为函数 f(t) 的三角型傅立叶系数。这些系数(包括,，,)可由下式得到：,因为,（4-2-20）,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,讨论题4-2-5 周期函数,利用标准三角恒等式，,可写成,容易看出，等式右边是形如,的傅立叶余弦级数,、,并且其它,。与复数情况一样，,的傅立叶余弦级数展开式。,的傅立叶级数展开。,展开式，其中,实数傅立叶展开式的系数也是唯一确定的。因此上式等式右边是,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,例4-2-6 求函数,的傅立叶级数展开。,解：函数 f(x) 的波形如图4-
13、2-3所示。,图4-2-3 函数 f(x) 的波形,，由式（4-2-20），分别可求出系数,注意到,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,注意，式中,。,因此，函数 f(x) 的傅立叶三角级数展开为,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,如果用上式中的有限求和项,作为逼近函数（逼近函数f(x)），则级数包含的项越多，其逼近,对于信号 f(t) 的近似就越好。图4-2-4是当N取1、5、18和50时 f(x) 的傅立叶三角级数近似。本例又一次告诉我们，随着N的增加，函数 f(x)的连续点近似越来越逼近 f(x) 的波形，但在f(x)的不连续
14、点x =0处， 傅立叶级数逼近中点0.5。,函数,4-2-3 2l周期函数和三角型傅立叶级数,图4-2-4 当N取1、5、18和50时 f(x) 的傅立叶三角级数逼近,4-2-4 物理建模与傅立叶级数,在为绝缘细长杆或者金属丝的热传导问题建模时，假定长度为L 的杆放置于x轴上且 0xl 。沿着杆的长度方向的温度通常是随着 位置x和时间t变化。问题是给定沿着杆的初始温度 u(x,0)f(x) 后确 定 u(x,t)，例如杆的一端热而另外一端冷，于是热将从热的一端流 向冷冻一端，如果希望求解一小时内的温度分布，则解法之一就是 需要在非对称区间 0xl 上的展开式,显然，上式具有傅立叶正弦级数形式。,
