流体力学 第三章 流体动力学

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1、第三章 流体动力学基础,1.拉格朗日法（随体法）,t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t),速度：,加速度：,物理概念清晰，但处理问题十分困难,3.1 研究流体运动的两种方法,2.欧拉法（局部法、当地法）,某瞬时，整个流场各空间点处的状态,以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法,a.流体质点的加速度,同理,b.质点导数,对质点的运动要素A：,时变导数,位变导数,时变加速度,位变加速度,1.恒定流与非恒定流,（1）恒定流,（2）非恒定流,所有运动要素A都满足,2.均匀流与非均匀流,（1）均匀流,（2）非均

2、匀流,3.2 流体运动的基本概念,例：速度场 求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度； （2）是恒定流还是非恒定流； （3）是均匀流还是非均匀流。,（1） 将t=2，x=2，y=4代入得 同理,解：,（2）,（3）,是非恒定流,是均匀流,3.流线与迹线,（1）流线某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲线相切,流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 与该点速度矢量 一致,性质：一般情况下不相交、不折转,流线微分方程,（2）迹线质点运动的轨迹,迹线微分方程：对任一质点,迹线微分方程,流线的特性： （1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不能相交，也不能是折线，而是光滑的曲

3、线或直线 (2) 不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流线越稀，流速越小。 （3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。,例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数） 求:（1）流线方程及t =0、1、2时流线图； （2）迹线方程及t =0时过（0，0）点的迹线。,解：（1）流线： 积分：,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=0时流线,o,y,x,c=0,c=2,c=1,t=1时流线,o,y,x,c=0,c=2,c=1,T=2时流线,流线方程,（2

4、）迹线： 即,迹线方程（抛物线）,o,y,x,注意：流线与迹线不重合,例：已知速度vx=x+t，vy=y+t 求：在t=0时过（1，1）点的流线和迹线方程。,解：（1）流线： 积分： t=0时，x=1，y=1 c=0,流线方程（双曲线）,（2）迹线：,由t=0时，x=1，y=1 得 c1=c2=-1,迹线方程（直线）,（3）若恒定流：vx=x，vy=y 流线 迹线,注意：恒定流中流线与迹线重合,4.流管与流束,流管在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面,5.过流断面在流束上作出与流线正交的横断面,1,2,注意：只有均匀流的过流断面才是平面,例：,1,2,1处

5、过流断面,2处过流断面,流束流管内的流体,6.元流与总流,元流过流断面无限小的流束 总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成,按周界性质： 总流四周全部被固体边界限制有压流。如自来水管、矿井排水管、液压管道。 总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触无压流。如河流、明渠。 总流四周不与固体接触射流。如孔口、管嘴出流。,7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s）表示。显然，对于均质不可压缩流体有 元流体积流量 总流的体积流量,b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般不相等，为了便于计算，设过流断

6、面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的流量与实际流量相同。 8 均匀流与非均匀流 流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流，否则称为非均匀流。按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流，否则称为急变流。,显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质： （1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面； （2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，即,实质：质量守恒,1.连续性方程的微分形式,o,y,x,z,dmx,dmx,dx,dy,dz,dt时间内x方向： 流入质量 流出质量 净流出质

7、量,3.3 连续性方程,同理：,dt时间内，控制体总净流出质量：,由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即,连续性方程的微分形式,不可压缩流体 即,例：已知速度场 此流动是否可能出现？,解：由连续性方程：,满足连续性方程，此流动可能出现,例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。,解：由 得,积分,由z=0，uz=0 得 c=0,2.连续性方程的积分形式,A1,A2,1,2,v1,v2,在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则,连续性方程的积分形式,不可压缩流体,分流时,合流时,刚体平移、旋

8、转 流体平移、旋转、变形（线变形、角变形）,平移,线变形,旋转,角变形,3.4 流体微元的运动分析,流体微元的速度：,1.平移速度：ux，uy，uz,2.线变形速度：,x方向线变形,是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）,同理,存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因,3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度,逆时针方向的转角为正 顺时针方向的转角为负,是微团绕平行于oz轴的旋转角速度,同理,微团的旋转：,4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度,微团的角变形：,存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因,是微团在xoy平面上的角变形速度,同理,例：平面流场u

9、x=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征,解：流线方程： 线变形： 角变形： 旋转角速度：,x,y,o,（流线是平行与x轴的直线族）,（无线变形）,（有角变形）,（顺时针方向为负）,例：平面流场ux=ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流场运动特征,解：流线方程：,（流线是同心圆族）,线变形：,（无线变形）,角变形：,（无角变形）,旋转角速度：,（逆时针的旋转）,刚体旋转流动,1.有旋流动,2.无旋流动,即：,有旋流动和无旋流动,例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？,解： 是有旋流,x,y,o,ux,相当于

10、微元绕瞬心运动,例：速度场ur=0 ，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？,解：用直角坐标：,x,y,o,r,ux,uy,u,p,是无旋流（微元平动）,小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体 微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微 元运动的轨迹无关。,无旋 有势,1.速度势函数,类比：重力场、静电场作功与路径无关势能 无旋条件： 由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件 函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动,速 度 势 函 数,由函数的全微分： 得：,（ 的梯度）,2.拉普拉斯方程,由不可压缩流体的连续性方

11、程 将 代入得 即 拉普拉斯方程,为拉普拉斯算子， 称为调和函数 不可压缩流体无旋流动的连续性方程,注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程,3.极坐标形式（二维）,不可压缩平面流场满足连续性方程：,即：,由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件,函数称为流函数,有旋、无旋流动都有流函数,流 函 数,由函数的全微分： 得：,流函数的主要性质： （1）流函数的等值线是流线；,证明：,流线方程,（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；,证明：,（3）流线族与等势线族正交；,斜率：,斜率：,等流线,等势线,利用（2）、（3）可作流网,（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉

12、斯方程,证明：,则：,将,代入,也是调和函数,得：,在无旋流动中,例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy= 2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。,解：,（1） 满足连续性方程,（2） 是无旋流,（3）无旋流存在势函数：,取（x0，y0）为（0，0）,（4） 满足拉普拉斯方程， 是调和函数,（5）流函数,取（x0，y0）为（0，0）,1.均匀平行流 速度场 （a,b为常数） 速度势函数 等势线 流函数 流线,u,x,y,o,1,1,2,3,2,3,几种简单的平面势流,当流动方向平行于x轴,当流动方向平行于y轴,如用极坐标表示：,1,1,2,2,1

13、,1,2,2,2.源流与汇流（用极坐标）,（1）源流：,1,1,2,2,o,3,4,ur,源点o是奇点r0 ur,速度场 速度势函数 等势线 流函数 流线 直角坐标,（2）汇流 流量,1,1,2,2,o,3,4,汇点o是奇点r0 ur,（3）环流势涡流（用极坐标）,注意：环流 是无旋流！,速度势函数,流函数,速度场,环流强度,逆时针为正,1,1,2,2,o,3,4,u,也满足 同理，对无旋流：,势流叠加原理,势 流 叠 加 原 理,（1）半无限物体的绕流（用极坐标）,模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩） 流函数： 速度势函数： 即视作水平流与源点o的源流叠加,u0,S,几个常见的势

14、流叠加的例子,作流线步骤： 找驻点S：,将 代入 （舍去） 将 代入 得驻点的坐标：,u0,S,o,rs,（1）,（2）,由（2）,由（1）,将驻点坐标代入流函数，得,则通过驻点的流线方程为,给出各值，即可由上式画出通过驻点的流线,流线以 为渐进线,外区均匀来流区；内区源的流区（“固化”、半体）,（2）等强源汇流（用极坐标直角坐标）,模型：源流与汇流叠加（电偶极子）,x,y,o,a,a,r,r1,r2,P(x,y),1,2,q,-q,势函数,流函数,源流和汇流的叠加,当a0，q，2qa常数M,偶极流,利用三角函数恒等式、级数展开，化简,a0：偶极流,（3）等强源流（用极坐标直角坐标）,x,y,

15、o,a,a,r,r1,r2,P(x,y),模型：两个源流叠加（两个同性电荷）,Q,Q,1,2,势函数,流函数,=C,=C,源流和源流的叠加,（4）源环流螺旋流（用极坐标）,模型：源流与环流叠加（水泵蜗壳内的扩压流动）,势函数,流函数,等势线,流线,流线和等势线是相互正交的对数螺旋线,源流和环流的叠加 （流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）,离心泵的叶片形状,3.6 伯努利方程及其应用 3.6.1 理想流体元流的伯努利方程 为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成 该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能求得其解。这些特定条件为： 恒定流动，有, 沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得 对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下列关系式成立，即 质量力只有重力，则,