《经济应用数学 上 教学课件 ppt 作者 李秋莎 32642-第2章极限与连续》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济应用数学 上 教学课件 ppt 作者 李秋莎 32642-第2章极限与连续（127页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 极限与连续,2.1 数列与函数的极限,极限的思想源于某些实际问题的精确 求解(例如圆的面积)。 极限方法是高等数学的基本方法。 本节将介绍数列和函数极限的概念和 性质。,2.1.1 数列的极限与性质,1. 数列 定义1 无穷多个数有顺序地排成一列 x1,x2,xn , 称为数列,记为xn ,其中xn 称为一般项或 通项。 显然,数列的项是其下标的函数,因此数 列还可以表示为 xn =f(n),n N+,在初等数学中,我们关心数列的通项公 式以及前n 项的和,现在我们要研究:当n 无 限增大时,数列的整体变化趋势。,以上讨论的3个数列有共同的特性:当n 无限增大时,其通项都无限接近某个常
2、数。 把这种特性抽象出来,就形成了极限的 定义。,2. 数列的极限概念,定义2 设xn 为一数列,如果存在常数a, 当n 无限增大时,xn 无限接近常数a,则称常 数a 是数列xn 的极限,或者说数列xn 收 敛于a,记为,如果不存在这样的常数a,则称数列xn 没有极限,或者说数列xn 发散。 由数列极限的定义和例1的分析可知,由数列极限的定义可知,数列收敛于a 是指:n 无限增大时,后边的所有项都要整体 地无限接近常数a。 为了描述这种整体性和无限接近的趋 势,我们引入极限的数量化定义。,定义2(-N 定义) 设xn 为一数列,如 果存在常数a,对于任意给定的正数(不 论它多么小),总存在正
3、整数N ,使得当n N 时恒有 | xn -a|,则称常数a 是数列xn 的极限,或者说 数列xn 收敛于a ,记为,如果不存在这样的常数a,则称数列xn 没有极限,或者说数列xn 发散。 该定义表明:无论你想象到的正数 有 多小,总能找到一个确定界限N ,使得数列从 N +1开始以后的所有项到固定常数a 的距 离都比 还要小。 这样就精确描述了整体无限接近的趋势。,3. 收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn 收 敛,则它的极限是唯一的。 借助数列极限的几何意义说明定理的 正确性。,对于数列xn ,如果存在正数M,使得对 一切xn都有xn M,则称数列xn 有界;如果 这样的正
4、数M 不存在,则称数列xn 无界。,定理2(收敛数列的有界性) 如果数列 xn 收敛,则数列xn 必有界。 由定理2可知,有界是数列收敛的必要 条件。 我们常用该定理判断数列发散。,例如,(-1)nn的通项的绝对值(-1)nn =n, 故(-1)nn无界,所以(-1)nn必发散。 注意,有界数列不一定收敛。 例如,数列(-1)n 的通项xn 1,是有界 数列,但该数列发散。,若a 0,适当选取 (a- 0),如图2-3 所示。 由几何意义可知,存在正整数N ,当n N 时,一切xn 要落在(a-,a+)内,故有xn 0。,定理4 如果数列xn 收敛于a,则数列 xn 的任何子数列都收敛,且收敛
5、于a。 由定理4可知,若xn 的两个子数列收敛 于不同的数,则xn 必发散。,故原数列发散。,2.1.2 函数的极限与性质,1.x 时函数f(x)的极限 定义3 设函数f(x)当|x|大于某一正数时 有定义,当自变量趋于无穷大(x )时,若 函数f(x)无限接近某个常数A ,则称x 时函数f(x)的极限为A ,记为,定义4 设函数f(x)在形如a,+ )的区间 上有定义,当自变量趋于正无穷(x + )时 ,若函数f(x)无限接近某个常数A ,则称x + 时函数f(x)的极限为A ,记为,定义5 设函数f(x)在形如(-,b的区间 上有定义,当自变量x 趋于负无穷(x -) 时,若函数f(x)无
6、限接近某个常数B,则称x - 时函数f(x)的极限为B,记为,2.x x0 时函数f(x)的极限,定义6 设函数f(x)在点x0 的某一去心邻 域 (x0)内有定义,若当自变量x 无限趋近x0(x x0)(不取x0)时,函数f(x)无限接近某个常数 A ,则称x x0 时函数f(x)的极限为A ,记为,由定义可知,x x0 时函数f(x)的极限描 述了自变量x 在无限趋近x0 这种变化过程 中,函数f(x)的变化趋势。,因此,该极限是否存在以及极限为何值, 与函数在x0 点有无定义以及函数值是多少 都无关;另外,x 趋近x0 有两个方向(左侧和右 侧),x 不论从哪个方向无限趋近x0,函数f(
7、x)都 要无限接近同一个常数,极限才能存在。,把定义6中自变量的变化趋势改为x 由 x0 的某一侧无限趋近x0,则得到单侧极限的 概念。,定义7 若当x 从x0 的左侧(x x0)无限趋近x0 时,函数f(x)无限接近 某个常数A (或B),则称x x0(或x x0)时 函数f(x)的左极限(右极限)为A (或B),记为,关于函数在一点处的极限和单侧极限 有如下关系。,3. 函数极限的性质,类似于数列极限,函数极限有如下性质。,2.2 无穷大量与无穷小量,无穷量是一类重要的极限,在证明极限 的性质和计算中起着基础性的作用。 本节介绍无穷大量和无穷小量、无穷 小量的性质以及无穷小量的应用。,2.
8、2.1 无穷大量,定义1 如果当x x0(或某一变化过程中 )时,|f(x)|无限增大,则称函数f(x)为x x0 时( 或该变化过程中)的无穷大量,简称无穷大, 记为,特别地,若在某一变化过程中,f(x)无限 增大(可大于任一正数),则称f(x)为该变化过 程中的正无穷大量,简称正无穷大,记为 limf(x)=+,若在某一变化过程中,f(x)无限减小(可 小于任一负数),则称f(x)为该变化过程中的 负无穷大量,简称负无穷大,记为limf(x)=-,定义中的变化过程可以是:x x0,x x0 (x0),x ( ),n 等。,2.2.2 无穷小量,定义2 如果在自变量的某种变化过程 中,变量
9、的极限为零,即 lim =0 则称 为这种变化过程中的无穷小量,简称 无穷小。,2.2.3 无穷小的比较,2.3 极限的运算法则,本节介绍函数极限的四则运算以及复 合函数的极限。,2.3.1 极限的四则运算,由无穷小和变量极限的关系以及无穷 小的性质,可得到函数极限的四则运算法则。,2.3.2 复合函数的极限,2.4 极限存在的准则和两个重要极限,本节首先介绍两个极限存在的充分条 件:夹逼准则和单调有界定理,然后根据这两 个条件推导出两个重要极限: , 最后介绍利用等价无穷小求极限的方法。,2.4.1 极限存在的准则,此准则也适用于其他变化趋势下的极 限,例如x ,x x+0 等。 特别地,对
10、于数列我们也有类似的夹逼 准则。,定义1 如果数列xn 满足x1x2 xn xn+1 ,则数列xn 称为单调增加 数列;如果数列xn 满足x1 x2 xn xn +1 ,则数列xn 称为单调减小数列。 单调增加数列和单调减少数列统称为单 调数列。 准则 单调有界数列必有极限。,2.4.2 两个重要极限,2.4.3 等价无穷小量求极限,该极限的计算是错误的。,两个等价无穷小量的差应该是它们的 高阶无穷小,而不一定是0。 因此,在和式和差式中,等价无穷小的代 换要谨慎使用,一般情况下求出的极限不是 0或 可以放心替换。,该极限的正确求法为,2.5 函数的连续性,许多自然现象和社会现象都是不断变化
11、的,例如树木生长、四季更迭、水滴石穿等。 这些变化都具有一定的连续性,即在很短 的时间内现象的变化也很微小。,这一特性在数学上称为函数的连续性, 即自变量变化很小时,函数的变化量也很小。 本节介绍函数连续的概念、间断点的分 类、初等函数的连续性以及闭区间上连续函 数的性质。,2.5.1 连续的概念和性质,2.5.2 初等函数的连续性,1. 连续函数的运算 由极限性质可得到连续函数的如下性质。,总结以上,所有的基本初等函数在定义 域内连续。 由于初等函数是由基本初等函数经有 限次四则运算和复合得到的,因而所有的初 等函数在定义区间内连续。,定义区间是指包含在定义域内的区间。 有些函数的定义域为孤
12、立点,不能形成 区间,因而函数在该点没有极限也就无法连续。,例如,初等函数,2.5.3 函数的间断点,定义5 若函数y =f(x)在x0 的某去心邻域 内有定义,但在x0 处不连续,则称f(x)在x0 处 间断,称x0 为f(x)的间断点。,根据单侧极限的存在性,可将间断点分 为两类。 定义6 若函数y =f(x)在x0 处左右极限都 存在,但函数在x0 处不连续,则称x0 为f(x)的 第一类间断点。,若函数y =f(x)在x0 处至少一个单侧极 限不存在,则称x0 为f(x)的第二类间断点。,2.5.4 闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有几个重要的性 质,现以定理的形式给出。 定理5(有界性最值定理) 闭区间上的连 续函数在该区间上一定有界,且可以取到最 大值和最小值。,定理6(零点定理) 设函数f(x)在闭区间 a,b上连续,且f(a)与f(b)异号,则至少存在一 点 (a,b)使得 f()=0 如图2-10所示,函数y =f(x)对应的曲线由 x 轴的下侧连续地变化到上侧,至少要经过x 轴一次。,定理7(介值定理) 若函数f(x)在闭区间 a,b上连续,则它在a,b上取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值。 在图2-11中,对于m c M ,存在x1,x2 a,b,使得 f(x1)=f(x2)=c,
