《土木工程力学 教学课件 ppt 作者 王长连 第十四章 平面应力状态分析及常用强度理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《土木工程力学 教学课件 ppt 作者 王长连 第十四章 平面应力状态分析及常用强度理论（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四章 平面应力状态分析及常用强度理论,第一节 平面应力状态分析 第二节 常用强度理论及其应用举例,第十四章 平面应力状态分析及常用强度理论,在前面几章中，要么只有正应力，要么只有切应力。如果构件不是因为横截面的强度不够而是沿斜截面破坏的,例如铸铁试件在受到压缩或扭转作用时,常会沿与轴线成4555的斜截面发生破坏,如图14-1a； 而钢筋混凝土简支梁在受到外力作用时常会在轴线以下部分出现斜裂缝而导致破坏，如图14-1b所示。 如果构件横截面上的某一点,既有正应力,又有切应力等,这些情况下的强度计算应该如何进行?肯定仅用前面提到的强度条件进行计算是不够的。 因此在对构件进行设计时,必须对构件的
2、强度进行全方位的(横截面、斜截面)、综合的(对危险点同时考虑与的共同作用)分析和校核,确保构件的安全，这就是学习本章应力状态分析和常用强度理论应达到的目的。,图14-1,第一节 平面应力状态分析,一、关于应力状态的基本概念 1、点的应力状态概念 构件在同一截面上，各点的应力不一定相等。例如，圆轴扭转时，横截面上各点的切应力的大小，是从圆心到圆边缘按直线规律变化的，在圆轴的外表面处切应力最大，而轴线处的切应力等于零。 直梁在弯曲时，横截面上各点正应力的大小，随其到中性轴的距离不同而不同，在梁的中性轴上其正应力等于零，在梁的上、下边缘处则正应力为最大，其间沿梁的高度成直线规律变化。 此外，在弯曲构
3、件（图14-2a）的斜截面上，即使是同一个点A，在不同方位的截面上，应力也是不尽相同的（图14-2b、c、d、e）。 在工程力学中，把通过构件内任意一点所有截面上的应力情况的总和，称为该点的应力状态。,图14-2a,2、单元体,研究点的应力状态，可以围绕所研究的点，切取一边长趋于零的微小正六面体作为研究对象，这个微小的正六面体，就称为该点的单元体。 由于单元体十分微小，故可以认为单元体各面上的应力均匀分布，大小等于所研究点在对应截面上的应力；在互相平行的截面上的应力大小也应相等。 这样，单元体上各个面上的应力，就是构件相应截面在该点处的应力。单元体的应力状态，也就代表了确定截面上相应点的应力状
4、态。 为了应用前面几章所介绍各类变形杆横截面上的应力计算成果和便于研究，通常都是沿构件的横截面、水平纵截面、铅垂纵截面（假设构件的轴线是水平的），围绕要分析应力的点K截取单元体的。,（1）轴向拉压杆,在杆上任取一点K（图14-3a）,其单元体和面上的应力如图14-3b、c所示。 其左右面是杆横截面上K点处的微小面，故仅有正应力=F/A，上、下面和前、后面都是杆上纵向截面上的微小面。所以没有应力。,图143,（2）受扭圆轴杆,在圆轴表面上任取一点K（图14-4a）,其单元体及各面上的应力如图14-4b及c所示。 其左右面是横截面上K点附近的微小面，仅有切应力，其大小等于横截面上K点的切应力，且x
5、 =MT/WP,根据切应力双生互等定律，上、下面（纵向截面上K点附近的微小面）上，y=x，前、后面上没有应力。,图14-4,（3） 横力弯曲梁,在梁上任取一点K（图14-5a），其单元体及各面上的应力如图14-5b、c所示。 在左、右截面上，既有正应力，又有切应力，其大小等于该横截面上K点处的应力，且 根据切应力双生互等定律，上、下面上的切应力y=x，前、后面上没有应力。 根据单元体各面上的已知应力，应用后面所要介绍的应力分析的解析法，就可以求出过K点的任意斜截面上的应力（图14-2），这就是研究点的应力状态的基本方法。,图14-5,3、主平面和主应力概念,在单元体上，若某对平面上的切应力为零
6、，则把此对平面称为主平面，把主平面上的正应力称为主应力。 可以证明，受力构件上的任意点，均有三对相互垂直的主平面，因而就有三对相应的主应力。 主应力应按其代数值的大小编号按序排列，分别用符号1、2、3表示，并规定123。例如，某单元体上的三个主应力值为-99MPa（压应力）、0、19MPa(拉应力)，则按规定有1=19MPa，2=0，3=-99MPa。 通过分析知道，主应力就是过某确定横截面上一点处所有斜截面上的正应力的极值。,4、应力状态的分类,为了便于分析和研究，通常根据单元体上主应力的情况，把应力状态分为如下三类： （1）单向应力状态 当单元体上只有一对主应力不为零时，称为单向应力状态（
7、图14-6a、d）。例如，拉、压杆及纯弯曲变形直梁上各点（中性层上的点除外）的应力状态，都属于单向应力状态。 （2）双向应力状态 当单元体上有两对主应力不为零时，称为双向应力状态（图14-6b、e）。 （3）三向应力状态 当单元体上三对主应力均不为零时，称为三向应力状态（图14-6c）。 在应力状态里，有时会遇到一种特例，即单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力（图14-6f），称为纯剪切应力状态。 三向应力状态又称空间应力状态，双向、单向及纯剪切应力状态又称为平面应力状态，处于平面应力状态的单元体可以简化为平面简图来表示（图14-6d、e）。,图14-6,二 平面应力状态分析的解析法,1、用
8、解析法求任一斜截面上的应力 图14-7a表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。 假定在一对竖向平面上的正应力为x、切应力为x和在一对水平平面上的正应力为y、切应力为y的大小和方向已经求出，现在要求求出在这个单元体的任一斜截面e-f上的应力的大小和方向。 由于习惯上常用表示斜截面e-f的外法线n与x轴正向间的夹角，所以又把这个斜截面简称为“截面”，并且用和表示作用在这个截面上的应力（参见图14-7a、b、c）。,图14-7,应力、和角度的正负号规定,应力、和角度的正负号规定如下：正应力以拉应力为正，压应力为负； 切应力以绕单元体内的任一点是顺时针转时为正，是反时针转时为负； 角度
9、以从x轴的正向出发量到截面的外法线n处是反时针转为正，是顺时针转为负。 按照上述的规定可以判断，在图14-7中的x、y和是正值；x和是正值；y是负值；角是正值。,图14-7,截面法计算单元体上任一斜截面e-f上的应力(1),假想用一平面沿e-f将单元体截开，取bef为分离体。如图14-7b、c、d。假设斜截面上的未知应力和为正值。 设斜截面e-f的面积为dA，则截面eb和bf的面积分别是dAcos和dAsin。分离体bef的受力图如图14-7d所示。取n轴和t轴如图14-7d，则可以列出分离体的静力平衡方程如下： 由Fn=0，得到 dA+(xdAcos)sin-(xdAcos)cos+(ydA
10、sin)cos-(ydAsin)sin=0 由Ft=0, 得到 dA-(xdAcos)cos-(xdAcos)sin+(ydAsin)sin+(ydAsin)cos=0 并利用切应力双生互等定律 |y|=x ,截面法计算单元体上任一斜截面e-f上的应力(2),将式代入式和式，经简化整理后，得 =xcos2+ysin2-2xsincos =(xy)sincos+x(cos2-sin2) 利用三角函数关系 将式代入式、式，经整理简化后，得 式（14-1）和（14-2）就是对处于平面应力状态下的单元体，根据已知x、y、x，求任意斜截面（=0360）上和的基本解析公式。,例14-1 图14-8a所示为
11、一平面应力状态情况，试求与x轴成30角的斜截面上的应力。 解: 由图14-8a和关于应力分析的有关正负号规定，有 将上述数值直接代入公式（14-1）和式（14-2），得,图148,例14-1,30为负值，说明它与图14-8b上所设的应力方向相反，即为压应力。30为正值，说明它与图148b上所假设的方向相同，为正切应力。,2、主应力和最大切应力,（1）主应力的求法及其主平面位置的确定 根据斜截面上的正应力和切应力的公式（14-1）和公式（14-2），和都是斜截面位置角的函数，利用函数极值的方法，可以求出和的极大值、极小值，以及它们所在的截面位置。 将式（14-1）对求导数,令此导数等于零，可求得
12、达到极值时的值，并以o表示此值，得,由式（14-2）知道，上面等式的左边刚好等于，这就说明，当等于零时，正应力有极值，亦即为主应力，=0所在的平面位置即为主平面。对式进一步简化，就得出求主平面位置的方程如下： （14-3）,由式（14-3）可以看出，o 有两个根。因为,说明o和o+900都能满足式（14-3），这就是说，处于平面应力状态的单元体上有两个主平面，并且这两个主平面是互相垂直的。,主应力数值的计算公式,式（14-3）可以求出主应力所在的截面位置o的数值，并且o所在平面上的正应力就是主应力，用符号zy代表主应力，将o的数值和=zy代入求任意斜截面上正应力的公式（14-1）并经整理简化后
13、，即有,整理后，就得到计算两个主应力的计算公式如下,利用式（14-4），在已知x、y及x的情况下，就可以很方便的求出两个主应力1和1，并且1与1分别作用在两个互相垂直的主平面上。,（2）最大切应力及其作用面位置,首先用解析法来确定最大切应力max所在的平面位置。将（14-2）对求导并令其等于零，有 即 如果用表示最大切应力所在平面的外法线与x轴之间的夹角，则可由上式得出 （14-6） 将式（14-6）与式（14-3）的 进行比较，可以知道 即 这说明最大切应力所在平面位置应与主平面相交成45角。,最大切应力的计算公式。,式（14-6）可以求出的数值。将的数值代入式（14-1）可以得到在最大切应
14、力作用平面上的正应力为： 将这个之值代入求切应力的公式（14-2）式，求得的值即为最大切应力max，因此有 或 将式（14-7）与式（14-4）进行比较，可以看出最大切应力与主应力在数值上的关系是 公式表明，单元体上的最大切应力的数值等于最大主应力与最小主应力之差的一半。当单元体上的三个主应力按代数值排列是123时，则最大切应力的计算公式应该写为 （14-8） 式（14-7）和式（14-8）都是计算最大切应力的公式，算得的结果有正、负两个数值。这说明最大切应力是成对出现的，它们的数值相等，正负号相反，作用面互相垂直，符合切应力双生互等定理。,（14-7）,例14-2 图14-9中所示的单元体，
15、是从某受力构件中K点处截取出来的。已知x=25 Mpa , x= -130 Mpa , y = -125 MPa。用解析法求出该单元体的主应力大小和方向，并求出最大切应力。 解: 由解析法可直接求得结果如下。 将 x=25 Mpa , x= -130 Mpa , y = -125 MPa ，代入式（14-3）、式（14-4）、式（14-7）便可求出主应力的大小、方向和最大切应力。即,例14-2,图14-9,即,解得,由于xy，故0=30应为1与x之间的夹角，0为3与x轴之间的夹角，0 与0均由x轴反时针方向旋转即可得出1与3的主应力方向，如图14-9所示。,max的作用面由x轴逆时针方向旋转=75即可得到，图中未绘出。,三、主应力轨迹线的概念,对于一个平面结构来说，我们可以求出其中任意一点处的两个主应力，这两个主应力的方向是互相垂直的。掌握构件内部主应力方向的变化规律，对于结构设计来说是很有用的。 例
