《概率论与数理统计-电子教案-李云龙 3.4 随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-电子教案-李云龙 3.4 随机变量函数的分布（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 随机变量函数的分布,定义：若存在一个函数g(X)，使得R.V.X,Y满足Y=g(X)，则称R.V.Y是X的函数。,一、离散型随机变量函数分布列的求法 （同一表格法）,设离散型r.v.X的分布列为,则求函数Y=g(X)的分布列的步骤为：, 求Y的所有可能取值, 计算Y取各可能值的概率：,概率论中主要研究随机变量函数的随机性特征即由R.V.X的统计 性规律出发研究其连续函数Y=g(X)的统计性规律.此时,Y也是R.V,如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和.,例如,当,则由基本事件互斥性与概率可加性得：,如果Y各可能取值互异,即 则,例1:设r
2、.v.X的分布列为:,求X-1,X2-1的分布列.,解:采用“同一表格法”.,互异,有等值,故X-1分布列为:,X2-1的分布列为:,其中,二、连续型随机变量函数概率密度的求法,方法1 分布函数法(一般情形),设连续型随机变量X的概率密度为 ,则求Y=g(X) 的概率密度 的步骤为：,其中积分区间Iy是以y的函数为端点的区间。, 分布函数对y求导数即得概率密度： ,求导 时一般用到变限函数的导数公式., 求Y的分布函数：,例2：设r.v.X的概率密度为,求Y=2X+8的概率密度fY(y)。,解：设Y的分布函数为 ，则,对y求导得：,得：,练习：设r.v.X的概率密度为,求Y=X2的概率密度。,
3、解：设Y的分布函数为 ，则,特别的,如r.v.XN(0,1),则,对y求导得：,于是，Y=X2的分布为,此时，称Y服从自由度为1的2-分布。,变限函数求导公式:,例3：设r.v.XU(0,1),求Y=eX的概率密度.,解：因r.v.XU(0,1),故X的概率密度为：,从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-,1),1,e),e,+ ).,如图, 的非零段将整个 x轴分为三部分: (-,0),0,1),1,+ );,因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.,(1) 当y1时,再分为两种情形:,a) 当y0时,b) 当0 y1时,故当y1时,(2) 当1ye时,(3) 当ye时,综上所
4、述得Y的分布函数为:,求导得Y的概率密度为:,注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。,方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数),函数g(x)处处可导且有恒有,定理：设连续型随机变量X的概率密度为,则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为,其中h(y)为g(x)的反函数，且,若 只在有限区间 上不为零，则只需,假设在 上恒有 ，此时,由概率密度求随机变量函数分布的方法,当随机变量函数是单调可导函数时,可采用公式法;,当随机变量函数不是单调函数时,可采用分布函数法.,核心:事件g(X)y等价转换为XIy。,此时，,例3-2：设r.v.XU(0,1),求Y=eX的概率密度.,解：因为r.v.XU(0,1),所以X的概率密度为：,由公式得：,证：因为r.v.X N(,2),所以X的概率密度为：,例4：设r.v.XN(,2),则Y=aX+b(a0) 服从正态分布。,而y=g(x)=ax+b单调可导，且有：,由公式得Y=aX+b的概率密度为：,即,即有：Y=aX+bN( a+b,(a)2).,上述结果表明：正态分布的线性函数仍为正态分布。,
