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1、 预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识 一元函数微积分一元函数微积分 学习目标学习目标学习目标学习目标学习目标学习目标学习目标学习目标 1.掌握建立（一元、多元）函数最值模型的方 法； 2.掌握用求函数驻点的方法求函数的最值. 3.1 3.1 微积分模型微积分模型微积分模型微积分模型微积分模型微积分模型微积分模型微积分模型 在实际生产和生活中在实际生产和生活中在实际生产和生活中在实际生产和生活中，常常遇到求常常遇到求常常遇到求常常遇到求“成成成成 本最低本最低本最低本最低”、“产量最大产量最大产量最大产量最大”、“收入最高收入最高收入最高收入最高“、 “利润最大利润
2、最大利润最大利润最大”、“效率最高效率最高效率最高效率最高”、“用料最用料最用料最用料最 省省省省”、“时间最短时间最短时间最短时间最短”等问题等问题等问题等问题这类问题在数这类问题在数这类问题在数这类问题在数 学上就是求函数的最大值学上就是求函数的最大值学上就是求函数的最大值学上就是求函数的最大值、最小值问题最小值问题最小值问题最小值问题，统统统统 称为最值问题称为最值问题称为最值问题称为最值问题它是数学上一类常见的优化它是数学上一类常见的优化它是数学上一类常见的优化它是数学上一类常见的优化 问题问题问题问题，这类问题可以表示为这类问题可以表示为这类问题可以表示为这类问题可以表示为 max(
3、min)( )f x 其中其中其中其中f( ( ( (x) ) ) )为目标函数为目标函数为目标函数为目标函数，max(minmax(minmax(minmax(min) ) ) )分别表示求最大分别表示求最大分别表示求最大分别表示求最大 （最小最小最小最小）值值值值 求解此类问题可以利用微积分中的导数求解此类问题可以利用微积分中的导数求解此类问题可以利用微积分中的导数求解此类问题可以利用微积分中的导数 知识或借助知识或借助知识或借助知识或借助MatlabMatlabMatlabMatlab求解求解求解求解 问题问题问题问题1 1 1 1 【水果的最佳收获时间模型水果的最佳收获时间模型水果的最
4、佳收获时间模型水果的最佳收获时间模型】 又是一个苹果成熟的季节又是一个苹果成熟的季节又是一个苹果成熟的季节又是一个苹果成熟的季节, , , , 老王正为采摘和出售苹果的时间老王正为采摘和出售苹果的时间老王正为采摘和出售苹果的时间老王正为采摘和出售苹果的时间 犯愁犯愁犯愁犯愁如果本周采摘如果本周采摘如果本周采摘如果本周采摘，每棵树可每棵树可每棵树可每棵树可 采摘约采摘约采摘约采摘约10kg10kg10kg10kg苹果苹果苹果苹果，此时此时此时此时，批发商批发商批发商批发商 的收购价格为的收购价格为的收购价格为的收购价格为3 3 3 3元元元元/kg/kg/kg/kg如果每推如果每推如果每推如果每
5、推 迟一周迟一周迟一周迟一周，则每棵树的产量会增加则每棵树的产量会增加则每棵树的产量会增加则每棵树的产量会增加 1kg1kg1kg1kg，但批发商收购苹果的价格但批发商收购苹果的价格但批发商收购苹果的价格但批发商收购苹果的价格 会减少会减少会减少会减少0.20.20.20.2元元元元/kg/kg/kg/kg8 8 8 8周后周后周后周后，苹果苹果苹果苹果 会因为熟透而开始腐烂会因为熟透而开始腐烂会因为熟透而开始腐烂会因为熟透而开始腐烂. . . .问老王问老王问老王问老王 第几周采摘第几周采摘第几周采摘第几周采摘，收入最高收入最高收入最高收入最高 一一一一、模型准备模型准备模型准备模型准备 此
6、题为求第几周采摘此题为求第几周采摘此题为求第几周采摘此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的老王每棵苹果树的老王每棵苹果树的老王每棵苹果树的 收入最高收入最高收入最高收入最高，其中收入其中收入其中收入其中收入= = = =产量产量产量产量单价单价单价单价. . . . 二二二二、模型模型模型模型的假设与符号说明的假设与符号说明的假设与符号说明的假设与符号说明 1.1.1.1.假设采摘按整周考虑假设采摘按整周考虑假设采摘按整周考虑假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘的情形不考虑分期采摘的情形不考虑分期采摘的情形不考虑分期采摘的情形. . . . 2.2.2.2.假设老王采摘苹果后立即卖给批发商假设老王
7、采摘苹果后立即卖给批发商假设老王采摘苹果后立即卖给批发商假设老王采摘苹果后立即卖给批发商 3.3.3.3.假设本周每棵树可采摘苹果假设本周每棵树可采摘苹果假设本周每棵树可采摘苹果假设本周每棵树可采摘苹果10kg10kg10kg10kg，且最近且最近且最近且最近8 8 8 8周内每周内每周内每周内每 推迟一周推迟一周推迟一周推迟一周，一棵苹果树会多长出等质的苹果一棵苹果树会多长出等质的苹果一棵苹果树会多长出等质的苹果一棵苹果树会多长出等质的苹果1kg.1kg.1kg.1kg. 4.4.4.4.假设第假设第假设第假设第x周采摘时每棵树的收入为周采摘时每棵树的收入为周采摘时每棵树的收入为周采摘时每棵
8、树的收入为R R R R（x）元元元元，x=0=0=0=0 对应本周对应本周对应本周对应本周. . . . 三三三三、模型建立模型建立模型建立模型建立 第第第第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为 ()10Q xx=+ 此时此时此时此时，苹果的销售单价为苹果的销售单价为苹果的销售单价为苹果的销售单价为 xxp2 . 03)(= xxp2.03)(= )()()(xpxQxR=)2 . 03()10(xx+= 2 2 . 030xx += 所以第所以第所以第所以第x周采摘时周采摘时周采摘时周采摘时, ,
9、 , ,农户所得收入为农户所得收入为农户所得收入为农户所得收入为 三三三三、模型求解模型求解模型求解模型求解 4000n4000n)4000(3)4000%(106000602%8+=+npnpnnp 令令令令 得驻点得驻点得驻点得驻点 将收入函数求导将收入函数求导将收入函数求导将收入函数求导，得得得得 xxR4 . 01)(= xxR4 . 01)(= 0)(= x R 5 . 2=x 方法一方法一方法一方法一： 方法二方法二方法二方法二： symssymssymssyms x x x x y=30+xy=30+xy=30+xy=30+x- - - -0.2*x2;0.2*x2;0.2*x2
10、;0.2*x2; ezplot(y,ezplot(y,ezplot(y,ezplot(y,- - - -20,40)20,40)20,40)20,40) 图3-1 利用利用利用利用MatlabMatlabMatlabMatlab求解求解求解求解. . . . 由于由于由于由于MatlabMatlabMatlabMatlab的函数命令的函数命令的函数命令的函数命令fminsearchfminsearchfminsearchfminsearch是求函数的是求函数的是求函数的是求函数的 最小值最小值最小值最小值，故需要把函数故需要把函数故需要把函数故需要把函数转换转换转换转换 成成成成从图从图从图从
11、图3 3 3 3- - - -1 1 1 1可以观察出可以观察出可以观察出可以观察出，在第在第在第在第 3 3 3 3周左右采摘周左右采摘周左右采摘周左右采摘, , , , 老王获得的收入最高老王获得的收入最高老王获得的收入最高老王获得的收入最高因此选择因此选择因此选择因此选择 为初始点为初始点为初始点为初始点，在其周围寻找最小值在其周围寻找最小值在其周围寻找最小值在其周围寻找最小值 2 2 . 030)(xxxR+= 2 2 . 030)(xxxR+= 3 0 =x fvalfvalfvalfval = = = = 2.50002.50002.50002.5000 x =x =x =x =
12、- - - -31.250031.250031.250031.2500 y=(x) y=(x) y=(x) y=(x) - - - -30303030- - - -x+0.2*x2;x+0.2*x2;x+0.2*x2;x+0.2*x2; fval,xfval,xfval,xfval,x=fminsearch(y,3)=fminsearch(y,3)=fminsearch(y,3)=fminsearch(y,3) 运行结果如下运行结果如下运行结果如下运行结果如下：用用用用Matlab求解如下求解如下求解如下求解如下： 因因因因31.231.231.231.2 元元元元，所以第所以第所以第所以第2
13、 2 2 2周或第周或第周或第周或第3 3 3 3周采摘获周采摘获周采摘获周采摘获 利最佳利最佳利最佳利最佳，此时每棵苹果树的收此时每棵苹果树的收此时每棵苹果树的收此时每棵苹果树的收 入为入为入为入为31.231.231.231.2元元元元. . . . =) 3()2(RR 拓展思考拓展思考拓展思考拓展思考: : : : 1. 1. 1. 1.如果本周采摘如果本周采摘如果本周采摘如果本周采摘，每棵树可采摘约每棵树可采摘约每棵树可采摘约每棵树可采摘约15kg15kg15kg15kg，问题问题问题问题1 1 1 1的其的其的其的其 它条件不变它条件不变它条件不变它条件不变问第几周采摘问第几周采摘
14、问第几周采摘问第几周采摘, , , , 老王的收入最高老王的收入最高老王的收入最高老王的收入最高？ 2. 2. 2. 2.分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系. . . . 3. 3. 3. 3.如果考虑分期采摘如果考虑分期采摘如果考虑分期采摘如果考虑分期采摘，是否会提高收入是否会提高收入是否会提高收入是否会提高收入? ? ? ? 1. 1. 1. 1. 在理清变量关系的基础上在理清变量关系的基础上在理清变量关系的基础上在理清变量关系的基础上，弄清问题的目标弄清问题的目标弄清问题的目标弄
15、清问题的目标， 建立所求问题的目标函数建立所求问题的目标函数建立所求问题的目标函数建立所求问题的目标函数 建立和求解最值模型的一般步骤建立和求解最值模型的一般步骤建立和求解最值模型的一般步骤建立和求解最值模型的一般步骤 2. 2. 2. 2. 求解求解求解求解：用求导的方法得驻点用求导的方法得驻点用求导的方法得驻点用求导的方法得驻点, , , ,若在问题考虑的若在问题考虑的若在问题考虑的若在问题考虑的 范围内得到唯一驻点范围内得到唯一驻点范围内得到唯一驻点范围内得到唯一驻点, , , , 分析实际问题的最值又存分析实际问题的最值又存分析实际问题的最值又存分析实际问题的最值又存 在在在在，则驻点即为最值点则驻点即为最值点则驻点即为最值点则驻点即为最值点; ; ; ; 或用或用或用或用MatlabMatlabMatlabMatlab求出所求问题求出所求问题求出所求问题求出所求问题 的最值点的最值点的最值点的最值点 问题2 【光纤收费标准模型光纤收费标准模型光纤收费标准模型光纤收费标准模型】 某地有多家有线电视公司某地有多家有线电视公
