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1、第5章 频域分析法,5.1 频率特性基本概念,5.1.1 频率特性的概念,为了说明什么是频率特性，先看一个RC电路，如图5-1所示。输入和输出电压分别为ur(t)和uc(t)，电路的传递函数为 式中，T=RC为电路的时间常数。 若给电路输入一个振幅为X、频率为的正弦信号，即 ur(t) = Xsint （5-1） 当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为图 5-1 RC电路,对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为 上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当t时，第一项趋于0，电路稳态输出为,（5-2） 式中， 为输出电压的振幅；为uc(t)与ur(t)之间的相位差。 式（5-2）表明：RC电路
2、在正弦信号ur(t)作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值的 倍，相位则滞后了arctanT。 上述结论具有普遍意义。事实上，对于任何线性定常系统，都可得到类似的结论。如对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 r(t) = Xsint （5-3） 则系统的稳态输出c(t)也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相角不一样，即 c(t)=Ysin(t+) （5-4） r(t)和c(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率的系统输入和输出之间的关系称为系统的频
3、率特性。 线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式,（5-5）,式中，B(s) 传递函数G(s)的m阶分子多项式，s为复变量； A(s) 传递函数G(s)的n阶分母多项式(nm)； p1,p2,pn传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统来说，它们都应该有负的实部。 由式（5-1）可知，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为（查拉氏变换表） （5-6） 输出信号y(t)的拉氏变换为 C(s) = R(s)G(s) 将式（5-3）、式（5-4）代入上式得 上式可改写成（利用部分分式法） （5-7） 式中，a1,a2,b1,b2,bn待定系数，它们均可用留数定理求出。
4、其中a1和a2是共轭复数。 将式（5-5）两边取拉氏反变换，可得,对于稳定的系统，由于极点p1,p2,pn都具有负实部，所以当t时， 都将衰减到零。这时输出信号C(t)只由式（5-6）中的第一项和第二项决定，即稳态输出c()为 （5-9） 式（5-7）中的待定系数a1和a2可分别由留数定理求得 （5-10） 上式中G(j)和G(j)都是复数，可以用极坐标形式表示为 （5-11） 将式（5-8）、式（5-9）代入式（5-7）得,式中， 。式（5-12）表明，线性定常系统在正弦输入信号r(t)=Xsint的作用下，稳态输出信号c()仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号c(
5、)的振幅Y是输入信号振幅X的|G(j)|倍，相位移为 = ，且都是角频率的函数。相位移为正时，表示输出信号c()的相位超前输入信号r(t)的相位；相位移为负时，表示输出信号c()的相位滞后输入信号r(t)的相位。 如果改变输入信号r(t)的频率，则|G(j)|和 也随之改变。线性定常系统在 正弦输入时，稳态输出c()与输入r(t)的振幅比 和相位移 = 随频率而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性，并分别用M()和()表示，即 M () = |G ( j)| () = M()和 ()合起来称为系统的频率特性。 由式（5-11）可知，|G (j)|和 可以由G (j)来统一表示，即 G (
6、j) = |G(j)| （5-13）,从以上分析可知，若将传递函数中的s以j代替，就得到频率特性，即G(j)=G(s)|s=j。可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统（或环节）都是成立的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j置换其中的s，就可以得到该系统（或环节）的频率特性。 反过来看，如果能用实验方法获得系统（或元部件）的频率特性，又给确定系统（或元部件）的传递函数提供了依据。,5.1.2 频率特性的表示方法,1数学表示方法 频率特性是一个复数，所以它和其他复数一样，可以表示为指数、直角坐标和极坐标等几种形式，如图5-2所示。 频率特性的几种表示方法如以下各式。 G(j) =
7、 P() + jQ()(直角坐标表示式) = |G(j)|G(j)(极坐标表示式) = M()ej()(指数表示式) 式中，P()和Q()分别称为系统（或元件）的实频 特性和虚频特性。 图5-2 G(j)在复平面上的表示,由图5-2所示几何关系知，幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为 P () = M ()cos () （5-14） Q () = M ()sin () （5-15）,（5-16）,（5-17）,2频率特性的图形表示方法 用频率法分析、设计控制系统时，常常不是从频率特性的函数表达式出发，而是将频率特性绘制成一些曲线，借助于这些曲线对系统进行图解分析。因此必须熟悉频率特性的常
8、用图形表示方法和图解运算过程。 （1）幅相频率特性曲线（奈氏图） 幅相频率特性曲线又称奈奎斯特（Nyquist）曲线，在复平面上以极坐标的形式表示。设系统的频率特性为,对于某个特定频率i下的G(ji)，可以在复平面用一个向量表示，向量的长度为M(i)，相角为(i)。当=0变化时，向量G(j)的端点在复平面上描绘出来的轨迹就是幅相频率特性曲线。通常把作为参变量标在曲线相应点的旁边，并用箭头表示 增大时特性曲线的走向。 图5-3所示就是图5-1所示电路的幅相频率特性曲线。 （2）对数频率特性（伯德图） 由上面的介绍可知，幅相频率特性曲线是一个以为 参变量的图形，需要逐点计算和描绘，而且图形又不 规
9、则，特别是在进行相乘或相除时，图形的变换不方 便，因此在定量分析时有一定的不便之处。 图5-3 RC电路奈氏图 例如，有G1(j)和G2(ji)两个环节串联，则其等效频率特性为 若绘制幅相频率特性曲线，其模M=M1M2，绘制起来十分麻烦，这就是幅相频率特性的缺点。,若对上式取对数，则 lnG(j) = lnM1()M2() + j1() + 2() =lnM1() + lnM2() + j1() + 2() 由上式可见，若对模取对数，则乘除运算转化成加减运算，绘制图形要方便许多，其相位()原先就是代数和的形式，因此不必再取对数。从而引导出对数频率特性的概念，伯德在此基础上作了改进，提出了伯德（
10、Bode）图。 对数频率特性。对于频率特性 ，若取其自然对数，可得 lnG() = lnM() + j() 从而将频率特性表示为两个函数关系：一个是lnM()与的关系，称为对数幅频特性；另一个是()与的关系，称为对数相频特性，两者合称为对数频率特性。 在实际工程应用中，为研究问题方便起见，常常将幅频特性M()用增益L()来表示，其关系为 L() = 20lgM() (dB) 这样，对数频率特性可定义为 （5-18） 伯德图。对数频率特性曲线又叫伯德（Bode）曲线。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，是频率法中应用最广泛的一组图线。伯德图是在半对数坐标纸上绘制出来的，横坐标采用对数刻度
11、，纵坐标采用线性的均匀刻度。,伯德图中，对数幅频特性是L()和频率的关系曲线；对数相频特性则是G(j)的相角()和频率的关系曲线。在绘制伯德图时，为了作图和读数方便，常将两种曲线画在半对数坐标纸上（见图5-4），采用同一横坐标作为频率轴，横坐标虽采用对数分度，但以的实际值标定，单位为rad/s（弧度/秒）。画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。尽管在坐标轴上标明的数值是实际的值，但坐标上的距离却是按值的常用对数lg来刻度的。坐标轴上任何两点1和2（设21）之间的距离为lg2lg1，而不是21。横坐标上若两对频率间距离相同，则其比值相等。 频率每变化10倍称为一个10倍频程，记作dec。
12、每个dec沿横坐标走过的间隔为一个单位长度，如图5-4所示。由于横坐标按的对数分度，故对而言是不均匀的，但对lg来说却是均匀的线性刻度。 对数幅频特性使用对数幅值L作为纵坐标值。L()=20lgM()称为对数幅值，单位是dB（分贝）。幅值M()每增大10倍，对数幅值L()就增加20dB。由于纵坐标L()已作过对数转换，故纵坐标按分贝值是线性刻度的。 对数相频特性的纵坐标为相角()，单位是度，采用线性刻度。 采用对数坐标图的优点较多，主要表现在以下几个方面。,图5-4 对数坐标,（a）由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了（低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义），而将高
13、频段相对压缩了，可以在较宽的频段范围中研究系统的频率特性。 （b）由于对数可将乘除运算变成加减运算，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加、减即可，从而简化了画图过程。 （c）在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有相当的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。 （d）若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。 （3）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图） 将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以()（度）为线性分度的
14、横轴、以L()=20lgM()（dB）为线性分度的纵轴、以为参变量绘制的G(j)曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols）。本章只介绍工程上最常用的奈奎斯特图和伯德图。,5.2 典型环节频率特性,5.2.1 比例环节,（1）比例环节的传递函数为 G(s) = K （2）比例环节的频率特性为 G(j) = K + j0 = Kej0 （5-19） （3）比例环节的频率特性奈氏图如图5-5所示。其中幅值M()=K，相位移()=0，并且都与无关，它表示输出为输入的K倍，且相位相同。 （4）对数频率特性为 （5-20） （5）比例环节的伯德图如图5-6所示。,图5-5 比例环节频率
15、特性奈氏图 图5-6 比例环节伯德图,由图可见，对数幅频特性L()为水平直线，其高度为20lgK，当K1时，则L()0，故L()-曲线是一条位于轴上方的平行直线；当K=1时，L()=0dB，L()-曲线是一条与轴重合的水平直线，所以横轴又称为零分贝线；当K1时，L()0，L()-曲线是一条位于轴下方的水平直线。对数相频特性，由于()=0，所以()-曲线就是线。,5.2.2 积分环节,（1）积分环节的传递函数为 G(s)= （2）积分环节的频率特性为 （5-21） （3）积分环节的频率特性奈氏图如图5-7所示，其中幅 值，其幅值变化与成正比。相位移()=90，它是 整个负虚轴，且当时，趋向原点0。显然，积分环 节是一个相位滞后环节因为()=9
