《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第6章二次型 6-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第6章二次型 6-2（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 化二次型为标准型,若二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX 经可逆的线性变换X=CY可化为只含平方项的形式： (6.6) 则称(6.6)式为二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX的标准形. 由上一章实对称矩阵对角化的方法知，可取C为正交变换矩阵T（即C=T,其中T满足：T-1=TT），此时，二次型f(x1,x2,xn)=XTAX在线性变换X=CY下可化为二次型YT(CTAC) Y. 如果 CTAC 为对角矩阵,则f(x1,x2,xn)就可以化为标准形(6.6). 其标准形中的各个平方项的系数恰好依次是对角矩阵B的主对角线上的元素. 因此上述的问题可归结为n级对称矩阵A能否合同于一个
2、对角矩阵. 即能否找到可逆矩阵C，使CTAC为对角矩阵. 如果对称矩阵A合同于一个对角矩阵，则称这个矩阵是A的合同标准形. 以下我们来介绍化二次型为标准形的几种常见方法.,一、配方法 先看一个简单的例子：将二次型 化为标准形. 可见，经过适当的配方，就可将原来二次型化为只含变量平方项的标准形. 对一般的二次型 ，利用拉格朗日配方法可证得下述结论.,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; （2）若二次型中不含有平方项，但有 则先作可逆线性变换,定理6.1 任何一个二次型都可以通过可逆线
3、性变换化为标准形.（证明略）. 拉格朗日配方法的一般步骤如下：,化二次型为含有平方项的二次型. 然后再按（1）中的方法进行配方. 注： 配方法是一种可逆的线性变换，但平方项的系数与A的特征值无关. 由于二次型与它的对称矩阵A是一一对应的，因此，由定理6.1可得： 定理6.2 对任一实对称矩阵A，存在可逆矩阵C，使为对角矩阵. 即 任一对称矩阵都与一个对角矩阵合同.,例6.3 用配方法化二次型 为标准形，并求出相应的线性变换矩阵. 解：先按 及含有 的混合项配成完全平方，即 上式中，再把 配成平方项。 令 或,即可把f 化为标准形： ，其相应的线性变换矩阵为：,解,例6.4,由于所给二次型中无平
4、方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,二、用正交变换化二次型为标准形 我们知道，对于n阶实对称矩阵A，由第五章的定理5.5知存在一个n阶正交矩阵P，使得为对角矩阵 ，并且其主对角线的元素是A的全部特征值.由于 （正交矩阵的定义），因此 为对角矩阵. 即A合同于对角矩阵，从而一个实n元二次型 等价于一个只含平方项的二次型（标准形），而且能找到正交矩阵P，使得经过正交变换X=PY，把二次型 化为以下的标准形： 其中 ，是A的全部特征值.,一般地，用正交变换化二次型为标准形的步骤如下： （1）将二次型 表示为矩阵形式，写出它的矩阵A. （2）由特征方程 求出A的全部特征值： ； （3） 解齐次线性
5、方程组 . 求出与各特征值对应的线性无关的特征向量： ； （4）将上述特征向量正交（施密特正交化方法）并单位化,得 ，记,（5）作正交变换 ,即得的标准形： 例6.5 设二次型 利用正交变换 ，将其化为标准形 解 （1）由二次型的表达式不难得到它的矩阵 （2）求出A的特征值. 由特征方程,得A的特征值为 （3）求属于各个特征值的特征向量. 对于 ，由方程组 即 求得基础解系 . 对于 ，代入方程组 ,即 求得基础解系 ， . 易知， 线性无关.,（4） 将 正交化（施密特正交化方法） 取 得正交向量： 再将 分别单位化得,作正交矩阵： （5）所求的正交变换为：X=PY . 即,在此变换下，原二
6、次型可化为标准形：,三、用初等变换化二次型为标准形 设有可逆线性变换 X=CY，它把二次型XTAX 化为标准形 XTBX , 则 CTAC =B.已知任一可逆矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积，故存在初等矩阵P1,P2,Ps 使C=P1P2Ps . 于是 由此可知，对 2n n矩阵 施行相应于右乘 P1,P2,Ps的初等列变换，再对A施行相应于左乘 的初等行变换，则矩阵A就变为对角矩阵 .而E在以上过程中，只作了相应的列变换，就变成所要求的可逆矩阵C.,即 (这里的变换过程实质是只对A作了成对的初等行,列变换，而对E只作了其中的初等列变换). 其中 是对角矩阵，即: . 例6.6 用初等变换法
7、，将二次型 化为标准形，并写出所求的可逆线性变换. 解 二次型 的矩阵为,因此 令X=CY, 得,所作的可逆线性变换 X=CY具体写出来就是 需要注意的是，同一个二次型，由于所用的变换不同，所得的标准形也可能不同，说明二次型的标准形是不唯一的. 但标准形中系数不为0的平方项的个数相同. 这是因为：设二次型 XTAX 经可逆线性变换X=CY 化为标准形 ,则 因此 .这表明R(A)=r，二次型 XTAX的标准形中系数不为0的平方项的个数等于它的矩阵A的秩，因而是唯一的. 通常把二次型 XTAX的矩阵A的秩称为二次型XTAX 的秩.,四、实二次型的规范形 我们知道，一个n元实二次型f(x1,x2,
8、xn)=XTAX 通过一个适当的可逆线性变换 X=CY可以化为下述形式的标准形： （6.7） 其中 di0, i=1,r；并且r是此二次型的秩，由于正实数总可以开平方，所以可以再做一个可逆的线性替换： ;,则二次型(6.7)可以化成： (6.8) 因此实二次型 XTAX有形如(6.8)的标准形，称(6.8)为二次型XTAX 的规范形. 规范形(6.8)有如下特点：只含变量的平方项，并且平方项的系数为1，-1或0；系数为1的平方项均可写在前面. 容易发现，实二次型XTAX 的规范形被两个自然数p和r所决定，那么二次型 XTAX的规范形是否唯一呢？回答是肯定的.,定理6.3（惯性定理） n元实二次
9、型 XTAX的规范形是唯一的.(注:二次型的规范形是由二次型本身唯一性决定的，它与所作的可逆线性变换无关)(证明见课本). 定义6.4 在实二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX的规范形中，系数为+1的平方项的个数p 称为二次型 的正惯性指数；系数为-1的平方项的个数r-p 为二次型的负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数所得的差p-(r-p)=2p-r为二次型的符号差. 由此可知，实二次型 的规范形被它的秩r和正惯性指数p决定. 利用二次型等价的传递性和对称性可得如下命题.,命题 : 两个n元实二次型等价 它们的规范形相同 它们的秩相等，并且正惯性指数也相等. 从二次型 XTAX经过可逆线性
10、变换化为规范形的过程中看到， XTAX的任一标准形中系数为正的平方项个数等于XTAX 的正惯性指数，系数为负的平方项个数等于XTAX 的负惯性指数，从而尽管二次型 XTAX的标准形不唯一，但是标准形当中系数为正（或负）的平方项个数是唯一的. 从惯性定理可得如下推论：,推论6.1 任一n级实对称矩阵A合同于一个主对角元只有1,1,0 的对角矩阵 即 其中1的个数等于二次型 XTAX的正惯性指数，-1的个数等于二次型 XTAX的负惯性指数，(分别把它们称为A的正惯性指数，负惯性指数，这个对角矩阵称为A的合同规范形),易知,n级实对称矩阵A的合同标准形中,主对角元为正(负)数的个数等于A的正(负)惯性指数. 由以上命题易得： 推论6.2 两个n级实对称矩阵合同 它们的秩相等，并且正惯性指数也相等. 例6.7 化二次型 为规范形，并求其正惯性指数. 解 由例6.4的结果知 经可逆线性变换,化为标准形 令 就可把 化为规范形： ,且 f 的正惯性指数为 2.,
