《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第5章矩阵特征值 5-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第5章矩阵特征值 5-3（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 向量的内积 由于方阵的相似对角化和二次型的化简等问题都涉及向量的内积等概念，本节介绍相关定义及其性质. 定义5.3 设有n维向量 令 . 则称x,y为向量x与y的内积 . 注 内积的结果是一个数(或是一个多项式). 不难验证，向量的内积具有下列一些运算性质.,设x, y, z为n维向量， 为实数. 则有 (1) ； (2) ； (3) . 定义5.4 称 为向量x的范数(或长度). 注 向量的范数是一个数. 且具有如下性质： （1） 非负性 当x 0时, ,当x = 0时, ； （2） 齐次性 ； （3） 三角不等式 .,定义5.5 称 时的向量x为单位向量. 注 将一个非零向量单位化
2、的方法是： . 定义5.6 当 ， 时，称 为向量x与y的夹角; 当x,y=0时称向量x,y是正交的。 定义5.7 正交向量组是指一组两两正交的单位向量. 显然，正交向量组是线性无关的. 定义5.8 设n维向量组 是向量空间V的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则,称 是V的一个标准正交基. 一般地, 利用向量空间V的一个极大线性无关向量组并通过施密特正交化的方法可以获得V的一个标准正交基. 设向量组 线性无关，用施密特正交化方法将其化为正交的单位向量组（或称标准正交向量组），具体做法如下： 先把向量组 正交化：, 此时向量 组 便是一个正交向量组. 再把向量组 中的各个向量单位化： ,
3、 , , , 则所得的向量组 就是一个标准正交化(正交规范化)向量组.,注 通常也将上述正交化过程简单地表示为： (这里的 上述相同) 定义5.9 如果n阶方阵A 满足 ATA=E, 则称A为正交矩阵. 例5.7 已知向量 ，求一组非零向量1,2，使1与2,3正交，并把1,2,3化成R3的一个标准正交基. 解 设所求的向量x, 使 3,x = 0，即,x1+x2+x3=0 它的基础解系为 把它们标准正交化， 为此，取 , 则 再将向量组 单位化：,显然 是两两正交的单位向量，故 是 的一个标准正交基. 解本题的关键在于所求向量与已知向量正交 , 由它们的内积等于零 , 得出齐次线性方程组,其基础解系即为所求的向量，然后再把已知的3个向量施密特标准正交化.,例5.8 验证矩阵 是正交矩阵. 解 因为 故 A是正交矩阵.,
