《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第3章-矩阵的初等变换与线性方程组 第3章-矩阵的初等变换与线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第3章-矩阵的初等变换与线性方程组 第3章-矩阵的初等变换与线性方程组（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1 矩阵的初等变换 3.2 矩阵的秩 3.3 线性方程组的解 3.4 初等矩阵,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,设有线性方程组,其矩阵形式为,3.1 矩阵的初等变换,称矩阵(A|b)为线性方程组(3.1)的增广矩阵, 记为, 即=(A|b). 当bi=0(i=1, 2, , m)时, 线性方程组(3.1)称为齐次的; 否则称为非齐次的.,显然, 齐次线性方程组的矩阵形式为 Ax=0 (3.3),(1)对调两行(或两列), 记为 ri rj (或ci cj ); (2)用常数k乘某一行(或某一列)的所有元素, 记为kri (或kci ); (3)把某一行(或列)所有元素的倍加到另一行(或
2、列)对应元素上, 记为ri +rj (或ci +cj ) .,如果矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B, 则称A与B是等价的, 记为：AB (或AB).,如果A仅经过初等行变换得到B. 记为：,如果A仅经过初等列变换得到B. 记为：,定义3.1 下面三种变换称为矩阵的初等变换：,(1)自反性：AA; (2)对称性：若AB, 到BA; (3)传递性：若AB, BC, 则AC. 例3.1及行阶梯形、行最简形和标准形矩阵定义(见书本P47-48).,定理3.1 任意一个矩阵A=(aij)mn经过有限次初等变换, 总可以将之化为下列标准形.,证明 如果所有的aij都等于0. 则A已是D的形式(r=0);
3、如果至少有一个元素不为0, 不妨设a110. 用-ai1/a11乘第一行加到第i行上, 用-a1j/a11乘所得矩阵的第一列加到第j列上，然后以1/a11乘第一行, 此时矩阵A就化为,矩阵之间的等价关系具有以下基本性质：,注:定理3.1的证明实质上也给出了以下结论： 定理3.1 任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯矩阵, 并进而化为最简形矩阵.,根据定理3.1的证明以及初等变换的可逆性,有 推论3.1 如果A为n阶可逆矩阵, 则A经过有限次初等变换可化为n阶单位矩阵E. 注: n阶可逆矩阵A必等价于n阶单位矩阵E(AE).,如果B1=0, 则A已化为D的形式. 否则可再按上述方法对B
4、1继续类似的初等变换, 如此重复多次, 便可得到形如D的标准形.,由此得出原方程组一般解：,例3.2 解下列线性方程组,本节结束,定义3.2 设A为一mn矩阵, 在A中任取k行、k列, 将位于这些行, 列交叉处的k个元素, 按其原有位置次序构成的k阶行列式, 称为A的一个k阶子式.,定义3.3 设A为一mn矩阵, 如果A有一个r阶子式Dr0, 且所有的r+1阶子式都等于0, 则称数r为A的秩, 记为R(A)或ran(A). 并规定零矩阵的秩为0.,因此, R(A)=2.,3.2 矩阵的秩,解 A为一阶梯形矩阵, 其非零行只有3行, 故其所有四阶子式全为0. 此外, 又至少有A的一个三阶子式,所
5、以，R(A)=3.,（1） R(A)=R(AT ); （2） R(A) m, R(A) n, 0R(A) minm, n; （3） 设A为一n阶方阵, 且|A|0. 则R(A)=n; 反之, 如果R(A)=n, 则|A|0.,因此有：n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.,若A=Ann且R(A)=n, 则称方阵是满秩的.,注1: 利用定义计算矩阵的秩, 需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式, 当矩阵的行数与列数较高时, 按定义求秩是非常麻烦的.,注2: 由于任意矩阵都可以经过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵, 所以考虑利用初等变换来帮助求矩阵的秩这种方法称之为初等变换法.,矩阵的秩具有下列性质,
6、证明 以下先对三种初等行变换分别证明.,（1）若,则B中任一个子式或为A中的一个子式, 或经过适当的行变换可成为A的一个子式, 反之亦然. 故两者最多只能有符号差别, 而是否为零的性质不变, 因此R(A)=R(B).,（2）若,则C中任一子式或为A的一个子式, 或为A中相应子式的倍. 反之亦然. 由于0, 因而两者是否为零的性质不变, 因此, R(A)=R(C).,（3）若,设R(A)=r, 现考虑G中任一个r+1阶子式M, 则M有三种可能：,定理3.2 如果AB, 则R(A)=R(B).,(2)M包含G中的第i行元素, 同时也包含G中的第j行元素, 这时可由行列式的性质(6)知, M=0.
7、(3)M包含G中的第i行元素, 但不包含G中的第j行元素, 此时,其中, M1为A的一个r+1阶子式, 故M1=0. 而M2经适当的行变换后为A的一个r+1阶子式, 由行列式性质(2)知. M2=0, 从而M=0.,(1)M不包含G中的第i行元素, 这时M为A的一个r+1阶子式, 故M=0.,至此, 已经证明了初等行变换不会改变矩阵的秩. 同理可证初等列变换也不改变矩阵的秩, 定理得证.,当k 1,k -4/5时, R(A) = 3. 当k = -4/5时, R(A)=2; 当k = 1时, R(A) = 2.,综合知G中所有r+1阶子式全部为零, 所以R(G) r = R(A). 另一方面,
8、 G经过ri+(-)得到A, 同理可得R(A) R(G). 从而有：R(A) = R(G).,可见, 阶梯形矩阵B的非零行有3行. 因此R(A) = 3, A的一个非零最高阶子式为,本节结束,本节用秩的概念和初等变换的方法求解非齐次线性方程组AX=b和齐次线性组AX=0.,3.3 线性方程组的解,方程组仅有零解.,其对应的线性方程组为,由此得对应的阶梯形方程组：,例3.8 解齐次线性方程组,证明 必要性.,由于Ax=0有非零解, 即存在x00使得Ax0=0, 以下用反证法证之. 若R(A)=n, 由定义, A中至少有一个n阶子式Dn0(必有mn).不妨设,它所对应的方程为,定理3.3 齐次线性
9、方程组(3.3) Ax=0(A=Amn)有非零解R(A)n; 或者说, Ax=0仅有零解R(A)=n.,由Cramer法则, 方程组(3.4)仅有零解, 而方程组(3.4)的解必是(3.3)的解. 又Ax0=0, 所以x=0必是(3.3)的解. 这与x00的假设条件矛盾, 因此R(A)n.,充分性 由于R(A)n. 设R(A)=rn. 从而必可由初等行变换将A化为阶梯形矩阵, 且阶梯形矩阵中刚好有r个非零行. 它所对应的方程组与方程组(3.3)同解.而且通过它仅能求出r个变量. 其余n-r个变量为自由未知量, 比如求出,由于xr+1, , xn可任取, 令xr+1=1, xr+2=xn=0.
10、则x1=b1,r+1,xr=br,r+1,xr+1=1,xr+2=xn=0就是它的一组非零解.,证明 必要性 (用反证法).,设方程组Ax = b有解, 但R(A) R(A|b), 则增广矩阵(A|b)的行阶梯形矩阵中最后一个非零行必将导出一个矛盾方程(0=d, d0)这与方程组有解矛盾, 故R(A) = R(A|b).,充分性. 设R(A)=R(A|b)=s(sn), 则(A|b)的行阶梯形矩阵中含有s个非零行, 把这s行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量, 其余n-s个作为自由未知量, 并令这n-s个自由未知量全为零, 即可得到方程组的一个解.,定理3.4 设A为一mn矩阵, 则n
11、元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为R(A)=R(A|b).,可知, R(A)=2. R()=3, R(A)R(). 由定理3.4知方程组无解.,该矩阵对应的同解方程组为,无解, 有唯一解, 有无穷多解？在有解的情形, 求出其解.,例3.11 取何值时, 线性方程组,（1） 当 = -2时, R(A) = 2, R() = 3. 由R(A) R()知方程组无解. （2） 当 -1, 且 -2时, R(A) = R() = 3. 故此时方程组有唯一解. 同解方程组,得原方程组的唯一解为：,（3）当 = -1时 R(A)=R()=2. 此时方程组有无穷多个解, 由同解方程组,由此得,本节
12、结束,定义3.4 对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 它有三种形式:,将E的第i行(列)与第j行(列)互换而得到的矩阵，记为E(i,j); 将E的第i行(列)乘以非零常数k得到的矩阵, 记为E(i(k). 将E的第j行乘以数k加到第i行上, 或将E的第i列乘以数k加到第j列上得到的矩阵. 记为E(i+j(k), j) .,性质 初等矩阵为可逆矩阵, 且它们的逆矩阵仍为初等矩阵. (1) E(i,j)可逆, 且E-1(i,j)=E(i,j); (2) E(i(k)可逆, 且E-1(i(k)=E(i(1/k); (3) E(i+j(k),j)可逆, 且E-1(i+j(k),j)=
13、E(i+j(-k),j).,3.4 初等矩阵,证明 将矩阵Amn按行分块, 且记为A的第i行,即,(1) 矩阵Amn左乘一个m阶初等矩阵E(i,j). 即,定理3.5 对矩阵Amn施行一次初等行变换相当于在Amn的左边乘一个相应的m阶初等矩阵; 对Amn实行一次初等列变换相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵.,这相当于对矩阵A施行初等行变换iiij.,这相当于对矩阵A施行初等行变换kri.,（2）矩阵A左乘一个m阶初等矩阵E(i(k). 得,这相当于对矩阵A施行初等行变换ii+krj.至此有关初等行变换结论已得证.,（3）矩阵Amn左乘一个m阶初等矩阵E(i+j(k),j)(ij), 得,
14、若记PsP2P1=P; Q1Q2Qt=Q, 根据初等矩阵均可逆和有限个同阶可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵知, P和Q均为可逆矩阵, 从而推论3.2可表述如下：,推论3.3 设Amn是秩为r的矩阵, 则存在m阶可逆矩阵P, n阶可逆矩阵Q, 使得,推论3.2 设Amn是秩为r的矩阵, 则存在m阶初等矩阵P1, P2, , Ps; n阶初等矩阵Q1, Q2, , Qt使得,证 A是n阶可逆矩阵, 有R(A)=n, 由推论3.2知 PsP2P1AQ1Q2Qt=E,故 A=P1-1P2-1Ps-1Qt-1Q2-1Q1-1,而Pi-1, Qj-1(i=1, 2, , s; j=1, 2, , t)也均为初等
15、矩阵, 故推论得证.,推论3.4 设A是n阶可逆矩阵,则A可表示为初等矩阵的乘积, 从而有：A是可逆矩阵的充要条件是A可表示为初等矩阵的乘积.,证 由推论3.4知,两边左乘Q1Q2QtPsP2P1得,这表明A可仅实行初等行变换化为单位矩阵.,在(3.5)式两边右乘Q1Q2QtPsP2P1得,这表明A可仅施行初等列变换化为单位矩阵.,注:利用推论3.5可得出求矩阵的逆矩阵的另一种常用的方法初等变换法求逆矩阵.,推论3.5 可逆矩阵A仅施行初等行(或列)变换即可化为单位矩阵.,设矩阵A可逆, 则求解矩阵方程AX=B等价于求矩阵X=A-1B, 为此, 根据A-1(A|B)=(E|A-1B); 可采用类似于用初等行变换求矩阵的逆的方法, 构造矩阵(A|B), 对其施行初等行变换将矩阵A化为E, 则上述的初等行变换同时也将其中的矩阵B化为A-1B, 即,同理, 求解矩阵方程XA=B, 等价于求矩阵X=BA-1, 便可利用初等列变换求解矩阵BA-1, 即,解: X=(A-E)-1A.,本节结束,
