《《线性代数》-牛莉-电子教案 第06章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性代数》-牛莉-电子教案 第06章（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 二次型,本章主要介绍二次型包括把二次型化为标准形及其二次型的正定性通过本章的学习，读者应该掌握以下内容： 二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理 二次型的正定性及其判别法,合同,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1.1合同矩阵,定义1 设有两个,阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵,使得,则称矩阵,与,合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具合同关系具有以下性质：,性质1,与,自身合同,性质2 若,合同,则,与,合同.,与,性质3若,合同,与,合同,则,与,合同.,与,6.1.2二次型及其矩阵表示,定义2
2、 含有,个变量的二次齐次函数,称为二次型,取,则,实二次型可以写成：,则二次型可记作,记,任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩,例如,可表示为,可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变,研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：,称为由变量 到变量 线性变换,矩阵形式为,6.2 化二次型为标准
3、形,6.2.1用正交变换法化二次型为标准形,定义3 如果二次型 通过可逆 线性变换化成二次型 且仅含平方项即 则称上式为二次型的标准形一般的，二次型的标准形不惟一,标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即,其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的特征向量,定理1 任给一个二次型 总存在正交变换 使 化为标准形,例2 求一个正交变换 化二次型 为标准形,解 二次型的矩阵,所以， 的特征值为,对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为,单位化得,对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为,单位化得,将 正交化，得,令,则作正交变换 二次型可化为标准形,6.2.2用配方法化二次型为标准
4、形,用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常 用的方法是拉格朗日配方法,例3 用配方法化二次型 化为标准形，并求所用的变换矩阵,解先将含有 的项配方,再将后三项中含有,的项配方，,令,则,经过可逆变换,可将二次型化为标准形,定理2 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略） 二次型的标准形不是惟一的，但标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩，）不仅如此，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有：,定理3 (惯性定理)设二次型 它的秩为 ,有两个可逆线性变换,使,则
5、中正数的个数 中正数个数相等.,另外，我们还有如下结论： （1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵,的非零特征值的个数（重特征值按重数计算）； （2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征值按重数计算）； （3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正,特征值的个数 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型 的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数,定义4 如果二次型 通过可逆线性变换可以化为 则称之为该二次型的规范形,定理4 任给一个二次型 总存在可逆变换 ,使 化为规范形,可以证明，规范形是惟一的规范形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯
6、性指数 ；取1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数 ；其中 为非零特征值的个数，等于二次型的秩,例如，若二次型 的矩阵 的特征值为 ,则,的规范型为,推论 两个实对称合同的充分必要条件是它们所 对应的实二次型具有相同的正惯性指数和秩,6.3 正定二次型,定义5 设实二次型 如果对任意 都有 （显然 ）， 则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的； 如果对任意 都有 则称 为负定二次 型，并称对称矩阵 是负定的,定理5 可逆变换不改变二次型的正定性,定理6 二次型 正定的充分必要 条件是它的正惯性指数等于,推论1 二次型 正定的充分必要 条件是它的规范型为,推论2 实对称矩阵 正定的充分
7、必要条件是与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 使,推论3 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有特征值都大于零,推论4 如果实对称矩阵 正定，则 的行列式大于零；反之未必,定义6 设 阶矩阵 的子式 称为矩阵 的 阶顺序主子式,定理7 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有顺序主子式都大于零，即,例5 求证给定的二次型是正定的,证明 这个二次型对应的实对称矩阵,它的顺序主子式,所以是 正定矩阵，即 为正定型,定理8 设二次型 则下列各条件等价,（1） 为负定二次型；,（2） 的负惯性指数等于,（3）实对称矩阵 与 合同；,（4）实对称矩阵 的特征值都小于零；,（5）实对称矩阵 的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零,例8 判断对称矩阵,正定性.,解,的顺序主子式,所以 既不是正定矩阵也不是负定矩阵,
