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1、系统建模理论与基础,主编：夏安邦,目 录,第1章 数学基础 第2章 模型论初步 第3章 基本建模方法 第4章 时间序列模型 第5章 非平稳随机过程 第6章 马尔科夫模型 第7章 动态相关分析 第8章 信息环境建模,第1章 数学基础,1.1 离散数学 1.2 随机过程 1.3 小结,1.1 离散数学,1.1.1 初等集合 1.1.2 集合的运算 1.1.3 关系 1.1.4 映射 1.1.5 线性空间 1.1.6* 度量空间 1.1.7* 命题逻辑 1.1.8* 一阶逻辑,1.1.1 初等集合,“集合”是不进行严格数学定义的一个基本概念。通常把研究对象的全体称为集合，而把其中的对象称为该集合中的
2、元素。设是一个集合，是集合中的元素，通常把这个事实记为，读做“属于”；若不是集合中的元素，则记为，读做“不属于”。如果给定集合，则对于任何元素，关系式和中有且仅有一个成立。 元素和集合一样也是一个抽象的概念，它可以代表任何东西。这就是说集合可以由任何东西构成，例如一个集合可以是另一个集合的元素，为了避免逻辑上的矛盾，通常规定“所有集合的全体”不是集合而称为集类或简称为类。集类以集合为元素，因此关系式恒不成立，因为不能既为集又为类。一个集可以作为另一个集的元素，但是不能作为自身的元素。,1.1.2 集合的运算,1.并运算“” 2.交运算“” 3.差运算“-”或“” 4.补运算“”或“” 5.对称
3、差“” 6.集合的运算规律,1.并运算“”,集合与集合的并记作，它表示把两个集合的元素合在一起，相同的元素只取一个，不增加其他元素所构成的集合，定义为 或(1-3),2.交运算“”,集合与的交记为，或简记为。交运算的定义为且(1-5),3.差运算“-”或“”,集合与之差记为或， 它定义为 且,4.补运算“”或“”,若集合是集合的子集，则称为集合的补集，记为或。显然，只有存在包含关系时，求补集才有意义。,5.对称差“”,集合与的对称差记为，它定义为 ()()(1-8) 根据这一定义，可以得到 (1-9) 因此称之为对称差。 以上所定义的并、交、差、补、对称差等运算可以分别用图1-1所示的集合运算
4、的文氏图解来说明。,5.对称差“”,图1-1 集合运算的文氏图解,6.集合的运算规律,(1)幂等律 (2)排中律 (3)交换律 (4)结合律 (5)分配率 (6)吸收律 (7)空集的性质 (8)德摩根(De,(1)幂等律,(2)排中律,(3)交换律,(4)结合律,()()， ()()(1-13),(5)分配率,()()()， ()()()(1-14),(6)吸收律,()， ()(1-15),(7)空集的性质,(8)德摩根(De,()，() ()， ()(1-17),1.1.3 关系,1.关系及其性质 2.关系的运算 3.序关系,1.关系及其性质,关系是现实中的一个基本概念，如同学关系、师生关系
5、、父子关系等。在数学中也有类似的概念，如相等关系、小于关系、函数关系等。不难看到，关系可以描述在某一个集合中元素之间的特征。反过来，也可以把具有某种特征或性质的元素用一个集合描述出来。 定义1-5 设A是一个集合，由A中元素的一些有序对构成集合R，亦即集合中的一个子集R，称为集合A上的一个二元关系，简称关系。对于，若(，)，则称，有关系，记为；若(，)，则称，没有关系，记以。 若，是集合A上的两个关系，并且，则称R是S的子关系。既然关系是集合，那么自然在关系之间也有像集合那样的交、并、补等运算。,2.关系的运算,定义1-10 设R是集合A上的一个关系，令 (，)，并且(1-18) 则称关系为关
6、系的逆。 小于关系的逆是大于关系，大于关系的逆是小于关系。相等关系的逆仍然是相等关系。显然，对任意关系而言，的充要条件是R具有对称性。 定义1-11 设R，S是集合A上的两个关系，令 (，)，并且z使得，(1-19) 称关系S为关系和S的乘积。 不难证明关系的乘法满足结合律，但是不满足交换律。 定理1-1 集合A上的关系R具有传递性的充要条件是(可简记为)。,3.序关系,定义1-14 设R是集合A上的一个关系，如果R具有自反性、反对称性、传递性，则称R为一个半序关系(或称为部分序关系)。集合A在半序关系R下组成一个半序集。 显然，半序集的子集仍为半序集。例如，集合A中的包含关系就是一个半序关系
7、，由一些集合作为元素而组成的集合，在集合的包含关系下是一个半序集。通常，将半序关系R写作，读做“小于或等于”。 定义1-15 如果对于半序集A中任意两个元素，必有，或者，则称A为序集。序集有时也称为链。 设A是一个半序集，其半序关系为。如果A中有一个元素a，对于所有，都有()，称a为集合A的最大(最小)元素。如果除a之外，A中没有元素x，使得()，则称a为集合A中的极小(极大)元素。 对于A中的子集M，如果对M中的任意元素m，都有()，则A中的元素a称为子集M的一个上界(下界)。M的上界(下界)不一定在M中，甚至于M未必有上界(下界)。如果a是M的一个上界，并且对于M的任意一个上界x都有，则称
8、A中的元素a为M的最小上界(或称上确界)。同理可以定义M的最大下界(或称下确界)。,1.1.4 映射,定义1-16 设A，B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B中一个确定的元素b与之对应，则称此对应为由A到B的一个映射。 映射是数学上的一个基本概念。把映射记为，于是对任意，()表示B中与a对应的元素，称为a的映像。尽管是A到B的映射，然而B中的某些元素可能不是A中任意元素的映像。如果B中每一元素都一定是A中某元素的映像，就称是A到B上的映射。特别，A到A上的映射，称为变换。 定义1-17 设是集合A到集合B上的映射；如果对于任意，且，都有()()，则称为1-1映射。 若是集合A到集合B上的
9、1-1映射，则对于B中的每个元素b，都对应着A中以b为映像(在下)的那个元素，这个对应,1.1.4 映射,显然是集合B到集合A上的映射，称这个映射为的逆映射，记以，显然，也是1-1映射，并且对任意，都有 ()(1-20) 定义1-18 设是集合A到集合B内的映射，是集合B到集合C内的映射，对任意，规定 ()()()(1-21) 显然，是集合A到集合C内的映射，称此映射为映射与映射的乘积。 不难证明：映射的乘积满足结合律，但是不满足交换律。 定义1-19 一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在一个1-1映射，则称此集合为可数集合。,1.1.4 映射,由定理1-4知，只要证明(
10、0，1)区间内的实数不可数就可以了。 假定可数，就可以把(0，1)区间内的数排成一个序列. .(1-23) . 再考虑下面的数：0.(1-24)式中，当，当，显然，式(1-24)表达的数是(0，1)区间的数，但它却不是序列式(1-23)中的任一个数。事实上，对式(1-23)中的任一个数0.，因为，故.0.与假设矛盾。故(0，1)区间内的实数不可数，所以实数不可数。,1.1.5 线性空间,根据矩阵的运算规则，两个维数相同的矩阵可以相加，其结果是一个维数相同的矩阵；数与矩阵相乘不改变矩阵的维数。因此，可以把维数相同的矩阵放在一起研究，这就构成了“空间”的概念。 定义1-20 一个集合V，如果它的任
11、意元素，满足下列各条件，那么V就叫做线性空间： 1)V中有加法和数积两种运算，并且还有加法的逆运算减法，即如果，V，V，这里是任意数，并且V中还有使的元。 2)V中的加法满足交换律、结合律 ， ()() 数积满足分配律、结合律 ()， ()， ()() 如果把1定义为线性空间的单位元，则有。,1.1.6* 度量空间,1.拓扑空间 2.拓扑基 3.集合上的度量,1.拓扑空间,所谓空间实际上是满足一定条件的集合。拓扑空间是一个集合和一种规则的结合体。 定义1-22 令X是一个集合，X中的一个拓扑(或一个拓扑结构)是一个适合于以下条件的X的子集族： 1)中成员的任意并仍属于； 2)中成员的有限交仍属
12、于； 3)和X属于。,2.拓扑基,对于给定的拓扑，能够从中选出足够多的开集，使得这个拓扑中的每个开集都由它们“生成”，这一组开集就构成了拓扑基。 定义1-24 令(，)是一个拓扑空间，如果每个开集(即的成员)都能表示为中某些元素的并，则开集族称为的一个拓扑基(或空间X的拓扑基)，称中的成员为“基开集”。,3.集合上的度量,定义1-25 集合Y上的度量(或距离函数)是一个适合以下条件的映射： 1)(，)，(，)； 2)(，)； 3)(，)，(，)(，)； 4)，(，)(，)(，)。 (，)叫做点x和y之间的距离。 从以上定义可以看出，度量是卡氏积的集合函数，它的值恒为正实数，只有当两点重合时，它
13、们的距离为0。条件3)说明两点间的距离与点的排列次序无关；条件4)表示这样规定的距离和几何上三角形边长的关系相似。,1.1.7* 命题逻辑,1.基本概念 2.范式 3.公式的蕴涵 4.公式推理,1.基本概念,所谓命题是一句有真假意义的话。命题逻辑研究的对象是命题。例如，“北京是中国的首都”是命题，而且它是真的；“南京是中国最大的城市”也是命题，但是它是假的。然而，“走开！”，“你干什么？”一类的命令和问话，不是命题。 命题用大写英文字母，表示。如果一个命题为真，把它的真值记为1；如果一个命题为假，就把它的真值记为0。有时，人们用1表示一个永真的命题，用0表示一个永假的命题。,2.范式,范式是命
14、题公式的一种标准形式。两个公式是否等价以及一个公式是否恒真(或恒假)的判定问题，可以由公式的范式来解决。为此，需要定义几个用语：原子或原子的否定称为文字，有限个文字的析取式称为一个子句，有限个文字的合取式称为一个短语。一个文字既可以称为是一个子句，也可以称为是一个短语。 定义1-28 有限个短语的析取式称为析取范式；有限个子句的合取式称为合取范式。 特别，一个文字既可称为一个合取范式，也可称成为一个析取范式；一个子句或者一个短语既可以看成是合取范式，也可以看成是析取范式。 定理1-6 对于任意命题公式，都存在与它等价的析取范式和合取范式。,表1-1 真值表,表1-1 真值表,2.范式,3.公式的蕴涵,定义1-29 设G，H是两个公式，当且仅当对G，H的任意解释I，如果I满足G则I也满足H，则称H是G的逻辑结果，或称G蕴涵H。将G蕴涵
