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1、,7.1 空间解析几何简介 7.2 二元函数极限与连续 7.3 偏导数与全微分 7.4 多元复合函数与隐函数微分法 7.5 二元函数的极限 7.6 二重积分,第7章 多元函数微积分,结束,空间,一维:只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度.其运动轨迹为线,二维:有两个独立的运动方向及其和方向,称为两个自由度.其运动轨迹成为面,7.1 空间解析几何简介,A,B,C,D,E,第7章 多元函数微分学,1.空间直角坐标系,过空间定点 ，作三条互相垂直的数轴，他们都以 为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为 轴, 轴, 轴，统称坐标轴。通常把 轴和 轴配置在水平面上， 轴在铅垂方向，他们的
2、指向符合右手法则.,三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标平面，分别是,三个坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限.,xOy面,yOz面,zOx面,x,y,z,空间任意一点 ，过 点作三个平面分别垂直于 轴、 轴、 轴，它们与 轴、 轴、 轴的交点分别为 、 、（如图），,设三点在三个坐标轴上的坐标依次为 ， ， ，于是空间一点 就唯一地确定了一个有序数组 ，通过直角坐标系，就建立了空间点 与有序数组 之间的一一对应关系,取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x, y, z) 之间的一一对应关系。,2.空间两点间的距离,设 ， 为空间两点，,特别地，点 到
3、坐标原点 的距离为 ：,选取坐标系如图。,则空间两点间的距离公式为：,3.空间的平面和直线的一般方程,由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程来表示，而任一三元一次方程的图形都是一个平面，所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方程。,由于空间直线可以看作是两个平面的交线，因此空间中两个平面的方程联立而成的方程组：,叫做空间直线的一般方程。,4.空间曲面和空间曲线的一般方程,1)曲面的方程,曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。,在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹,空间曲线可看成是两曲面的交线设 和 是
4、两个曲面方程,2)空间曲线的一般方程,称为空间曲线的一般方程即曲线上任何一点都要同时满足两个曲面方程。,则方程组,例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x0,y0)，,引例,其中长x 和宽y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y 的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应.,为某商品的销售量， 为商品的销售价格， 为购买商品的人数为设此种商品的销售量 与 ，,有关系：,其中， ， ， 均为正常数,例2,7.2 多元函数的概念、极限与连续,1. 二元函数的概念,定义1 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定
5、的值与之对应，则称z 为x，y的二元函数，记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.,例,类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.,与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。,函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.,2. 二元函数的定义域,例3 求出二元函数 的定义域.,例4 求函数z=ln(x+y)的定义域.,解 函数的定义域为 x+y0.,即,例5 求函数 的定义
6、域(a0,b0).,其图形是矩形内部(包括边界).,解 函数的定义域由不等式组,例6 求函数 的定义域.,解 函数的定义域为,它的图形是单位圆内部(不包括边界).,二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.,全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：,(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,(2) 点集内不包含边界上的点,(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.,点集内包含边界上所有的点.,这种平面点集称为平面闭区域.,如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆
7、内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.,例3，例5的定义域为有界闭区域.例4的定义域为无界区域.例6的定义域为有界区域.,如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为 ：,3. 二元函数的几何意义,在一定条件下，函数z=f(x,y) 的几何图形是一张曲面. 而定义域D正是这曲面在 平面上的投影.,定义2 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义(点(x0,y0) 可以除外),如果动点P(x,y) 以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值f (x,y)趋于一个确定 数A，则称A为函数z=f(x,y),当 时的极限，记作,7.2.2 二元函数的极限与连续,或,(x0,
8、y0),1. 二元函数的极限,对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0, y0)，函数都无限接近于A.,值，则可以断定函数在该点的极限不存在.,当P(x,y)以不同路径趋于点 时，函数趋于不同的,例7 讨论二元函数,当P(x,y)O(0,0)时，极限是否存在.,解 当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)即y=0时，f(x,y)=f(x,0)=0 (x0)，,当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)即x=0时, f(x,y)=f(0,y)=0(y0),即f(x,y)=f(x,kx)= (x0)，,其极限值随直线斜率k的不同而不同.因此 不存在.,一元函数极限的有些运算
9、法则(如四则运算法则，夹逼定理等) 可以相应地推广到二元函数.,当P(x,y)沿直线y=k x轴趋于点O(0,0)时，,定义3 如果当 时，函数z=f (x,y)的极限存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)， 即,则称函数f(x,y)在点 处连续.,如果函数z=f (x,y)在开区域D上各点都连续，则称函数z=f (x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数z=f (x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.,2. 二元函数的连续性,如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.,如果函数z=f(x,
10、y)有下列情形之一：,(1)在点P0(x0,y0)没有定义，,(2) 在点P0(x0,y0) 有定义， 不存在，,(3) 在点P0(x0,y0) 有定义，且 存在，但,则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.,二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点外，还可能有间断线.,在圆周 上的每一 点都是间断点，因为在圆周 上的点，函数无定义.圆周 是该函数的间断线.,例8 函数,与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：,性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值.,性质2 (介值定理) 在有界闭区域
11、D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.,3.有界闭区域上连续函数的性质,7.3.1 偏导数,定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量,称为关于 x 的偏增量记为,7.3 偏导数与全微分,相应的,即,1. 偏导数定义,如果极限,存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作,即,类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,记为,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即,存在
12、，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作,偏导函数:,类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的偏导函数为,记作,二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为,偏导数 可类似的定义,2、偏导数的求法,求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.,例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 时，可将 自变量y 看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x 求导.,若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数
13、，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 ，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.,例1 求函数 在点(1,3)处对x 和y 的偏导数.,解,将点(1,3)代入上两式，得,例2 求函数 的偏导数.,解,例3 求函数 的偏导数.,解,例4 求函数 的偏导数.,解,偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分 母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一
14、点与一元 函数导数记号 是不同的， 可看成函数的微分dy 与自变量微分dx之商.,例6 设,求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.,解 原点(0,0)处对x的偏导数为,在原点(0,0)处对y的偏导数为,对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处 连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一 定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导 数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋 于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证 当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于 f(x0,y0).,在点(x0,y0)处二元函数
15、连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.,3. 几何意义,7.3.2 高阶偏导数,设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数,二元函数的二阶偏导数为：,同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的n1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.,例7 求 的二阶偏导数.,解,例8,解,例9 设 ，求,解,7.3.3 全微分,全增量设二元函数y = f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 和 时，函数的全增量为,例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加 ，宽自y0增
