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1、第五章 时 变 电 磁 场,前面各章介绍的静电场和恒定磁场，都属于静态场。,特性：电场和磁场是相互独立的，互不影响，因此可以分别独立进行研究。,静态场：场的大小不随时间发生改变,时变场：场的大小随时间发生改变,特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。,5.1 法拉第电磁感应定律 5.2 位移电流 5.3 麦克斯韦方程组 5.4 时变电磁场的边界条件 5.5 时变电磁场的能量与能流 5.6 正弦电磁场 5.7 波动方程 5.8 时变电磁场中的位函数,本章的主要内容,5.1 法拉第电磁感应定律,一、运动电动势,对于导体中每一自由电子作用的磁力为：,磁力作用的结果使导体左
2、端出现净负电 荷，右端出现净正电荷,E是导体在磁场中运动的结果，因而称为运动电场,由力和电场强度关系,如果将构成一个闭合回路，则回路中形成电流，称为感应电流 。,感应电流流过导体产生的洛仑兹力的方向是与导体运动方向相反的阻碍导体运动。,其电动势可表示为,称为动生电动势,动生电动势,只要导体切割磁场就会产生动生电动势，动生电动势是发电机工作原理，亦称为发电机电势。,二、电磁感应现象与楞次定律,除了运动导体可以产生动生电动势外，实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中也会出现感应电流。电磁感应现象,如何确定感应电动势的方向由楞次定律来确定。,楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路
3、自身的磁通，去反抗（阻止）引起感应电流的磁通量的改变。,图 5-1 法拉第电磁感应定律,三、法拉第电磁感应定律,法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：,符号“”总是要阻止回路磁通量的改变,电磁感应定律的说明图例,其实，运动导体的动生电动势也可以理解为磁通变化引起的，如图所示。,我们可以设想运动导体ab与蓝色(虚线)导线、蓝色电阻R1构成回路，在dt时间内，回路中磁通的变化引起的电动势力,注意：设想运动导体ab与红色(虚线)导线、红色电阻R2构成回路，其结果一样，只是这时s是减少、,当回路线圈不止一匝时，例如一个
4、N匝线圈，可以把它看成是由N个一匝线圈串联而成的， 其感应电动势为,四、法拉第电磁感应定律微分形式,如果定义感应场Eind沿闭合路径 l 的积分为l中的感应电动势，那么,如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec ，则总电场E为两者之和，即E=Ec+Eind。但是，,应用斯托克斯定理,得到法拉第电磁感应定律的微分形式：,得到法拉第电磁感应定律的积分形式：,物理意义；随时间变化的磁场将产生电场,对法拉第电磁感应定律的讨论：,式中等式右边为B对t的偏导数，该式用于分析时变场 式中的E是磁场随时间变化而激发的，称为感应电场 感应电场是有旋场，磁通随时间变化处会激发旋涡状的电场 对任意回路(不一定
5、有导体存在)都成立 磁场不随时间变化时，有 ，与静电场的形式相同可见静电场是时变场的特殊情况,5.2 位 移 电 流,一、安培环路定律的局限性,交变电路用安培环路定律,思考,经过S1面,经过S2面,为什么相同的线积分结果不同？,安培环路定律的应用受到了限制。麦克斯韦提出位移电流的假设，即在电容器的两极板间存在着另一种电流，其量值于传导电流相等。,对于S1和S2构成的闭合面，应用电流连续性原理，有,其中， q为极板上的电荷量,由高斯定律,其中， 麦克斯韦称为位移电流密度(A/m2),位移电流的物理解释：变化的电场产生位移电流，电流仍然是连续的。,传导电流密度,位移电流密度,电流连续性原理,安培环
6、路定律,电流连续性原理,安培环路定律,二、全电流定理,引入位移电流后，安培环路定律得到推扩，称之为推广的安培环路定律（又称安培麦克斯韦全电流定律）,全电流,积分形式,微分形式,在真空中或在气体中，带电粒子的定向运动会形成运流电流 如果带电粒子运动速度为v，则运流电流为,全电流表示成：,穿过任意闭合面的各类电流之和恒为0,推广的安培环路定律,两边取散度,全电流连续性原理电路中的基尔霍夫电流定理,对安培环路定律和位移电流的讨论, 时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流外，还有位移电流； 位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化时，会形成磁场的旋涡源(位移电流)，从而激发起磁场； 推
7、广的安培环路定律物理童义：随时间变化的电场会激发磁场 位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，但在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。,例 5-1 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sint，铜的电导率=5.8107S/m, 0。 解：,传导电流,位移电流,振幅比值为：,例5-2 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。 解： 根据麦克斯韦方程(推广的安培环路定律),可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为,散度定理,例 5 - 3 在坐标原点附近区域内，传导
8、电流密度为,试求： (1) 通过半径r=1mm的球面的电流值； (2) 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率； (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。,解：(1)通过半径r=1mm的球面的电流值；,电流连续性方程,(2) 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率；,(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：,根据电荷守恒定律,所以有,例 5 4 在无源的自由空间中，已知磁场强度,求位移电流密度Jd。 解：无源的自由空间中J=0,推广的安培环路定律变为,5.3.1 麦克斯韦方程组,5.3.1 麦克斯韦方程组, 麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组 时变电磁场中，电场和磁场相互激
9、励，形成统一不可分的整体,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，变化的磁场产生电场。,磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭合曲线。,高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。,麦克斯韦方程组揭示的物理涵义, 时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场 电场和磁场互为激发源，相互激发 电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量 麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实所证明,说明：静电场只是时变场的一种
10、特殊情况,5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程本构关系,在不同特性的媒质中，电磁场除了满足maxwell方程组外，还需要有说明媒质特性的方程：,对于各向同性的线性媒质， 上式可以写为,导电媒质中的传导电流,关于媒质特性的附加说明,线性媒质：媒质参数与场强大小无关 均匀媒质：媒质参数与位置无关 非色散媒质：媒质参数与场强频率无关，反之称为 色散媒质 各向同性媒质：媒质参数与场强方向无关,5.3.3 洛仑兹力 电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电荷q所受的力为,如果电荷是连续分布的，其密度为，则电荷系统所受的电磁场力密度为,上式称为
11、洛仑兹力公式。近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。,例 5 6 已知在无源的自由空间中，,其中E0、为常数，求H。 解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0, =0。,由上式可以写出：,5.4 时变电磁场的边界条件, 麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部 在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电磁场按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的边值关系或边界条件 推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式, 磁场强度 H的边界条件,矢量形式,标量形式,结论：磁场强度 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值恰好等于
12、分界面上的电流面密度,如果分界面处没有面电流，则, 电场强度 E 的边界条件,结论：电场强度 在不同媒质分界面两侧的切向分量连续。,说明电位移矢量的切向分量越过分界面时不连续,矢量形式,标量形式, 磁感应强度 B 的边界条件,结论：磁感应强度 在不同媒质分界面两侧的法向分量连续,说明磁场强度的法向分量Hn越过边界时不连续,矢量形式,标量形式, 电位移矢量 D 的边界条件,结论：电位移矢量 在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。,矢量形式,标量形式, 理想导体和理想介质分界面的边界条件,理想导体中电导率为无穷大,为有限值，当,结论: 在理想导体内部无电磁场，电磁
13、波发生全反射。,理想导体只是理论上存在。在实际应用中，某些媒质电导率极大，则可视作理想导体进行处理, 说明,理想介质中,即在理想介质的内部和表面都不存在自由电荷和传导电流，从而可得相应的边界条件为：,标量形式,例 5 - 7 设 z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为,试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。,解：,假设t=0 时，S=0，,例 5 - 9 设区域 (z0)的媒质参数r2=5, r2=20, 2=0。区域中的电场强度为,区域中的电场强度为,试求： (1) 常数A； (2) 磁场强度 H1 和 H2 ； (3) 证
14、明在z=0处 H1 和 H2 满足边界条件。,解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有,由于 E1 和 E2 恰好为切向电场，,(2) 根据麦克斯韦方程,所以,同理， 可得,(3) 将z=0代入(2) H1 和 H2 表达式中可得:,满足边界条件,5.5 时变电磁场的能量与能流,能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。,本节将详细讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互关系。,空间区域V，其界面为S，并设V内没有外加的场源，随着电磁场的运动，电磁能量通过S流入体积
15、V。设V内电荷运动的速度为 ，单位体积中的电荷所受的力为 ，场内单位体积的电磁能量（即能量密度）为w，Ps表示通过S面流入V内的功率。,根据能量守恒定律有：,场对V内电荷所做的功,V内电磁能量的增加率,利用矢量恒等式,利用散度定理上式可改写为,这就是适合一般媒质的坡印廷定理。,利用矢量函数求导公式,同理，,对于各向同性的线性媒质，即 可知，,对于各向同性的线性媒质， 坡印廷定理表示如下：,电磁波（场）的能量密度,坡印廷矢量,坡印廷定理可以写成,表示体积V中电磁能量随时间的增加率,表示体积V中的热损耗功率(单位时间内以热能形式损耗在体积V中的能量),单位时间内穿过体积V的表面S流入体积V的电磁能
16、量,物理意义：流入体积V内的电磁功率等于体积V内电磁能的增加与体积V内损耗的热功率之和,在空间任一点上，坡印廷矢量的方向表示该点功率流的方向，其数值表示与能量流动方向垂直的单位面积的功率,坡印廷矢量又称为：电磁功率流密度或能流密度矢量,4.4.1 电磁波的传播,在静电场和静磁场情况下,在恒定电流的电场和磁场情况下,表明通过S面流入V内的功率都转变为V内的功率损耗,坡印廷矢量的说明：,例 5-10 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。 解：如图所示，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有,图 5-5 坡印廷定理验证,在导线表面，,因此，导线表面的坡印廷矢量,将坡印廷矢
