【精选】第9章 湍流基础

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1、第 9 章 湍流基础透平叶栅中的流动是一种性质极为复杂的流动，由于在现代透平中流动的雷诺数很高，同时透平转子对流动的强烈影响，都使得流道中的实际流动呈现湍流状态 1。 如果仍然采用层流模型进行数值研究，结果与真实值间的差距就会加大。此外，湍流其本身也是一个很复杂的问题，一方面它是流体力学领域中尚未解决的问题之一；另一方面，在求解湍流模型的过程中还会产生很多数学上的问题 2。 如此一来，叶栅流道内的三维湍流的数值计算就吸引了众多的学者和工程技术人员。 9.1 湍流的基本概念9.1.1 湍流的概念和基本结构自然界中的流动问题和工程实践中所处理的各种流体运动问题更多的是湍流流动问题。 如水在江河中的

2、流动水通过各种水工建筑物、水处理建筑物的流动，管道中水的流动，污染物质在河流及海洋中的扩散，大气边界层流动等均多为湍流。 湍流是不同于层流的又一种流动形态。 英国的雷诺于 1883 年，通过其著名的圆管实验深入的揭示了这两种不同的粘性流动形态 3。 虽然一百多年来人们对湍流的研究不断深入，但是由于湍流运动的极端复杂性，它的基本机理至今仍未被人们所掌握，甚至至今仍然没有一个精确的定义。 雷诺（Osborne Reynolds,1842 年1912 年）把湍流定义为一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动（sinuous motion） 。 泰勒（ GI Taylor 1886 年1975 年）和冯卡门对湍流

3、的定义是“湍流是常在流体流过固体表面或者相同流体分层流动中出现的一种不规则的流动” 。 欣策（JOHinze ）在他的著作“Turbulence”一书中则认为湍流的更为确切的定义应该是“湍流是流体运动的一种不规则的情形。 在湍流中各种流动的物理量随时间和空间坐标而呈现出随机的变化，因而具有明确的统计平均值” 。 同时，在这本书中还把泰勒和卡门对湍流所下定义中提到的两种流动状况给予专门名称：“壁面湍流”表示流过固体壁面的湍流， “自由湍流”表示流动中没有固体壁面限制的湍流流动。 4湍流的运动极不规则，极不稳定，每一点的速度随时间和空间都是随机变化的，因此其结构十分复杂。 现代湍流理论认为 5：湍

4、流是由各种不同尺度的涡构成的，大涡的作用是从平均流动中获得能量，是湍流的生成因素，但这种大涡是不稳定的，它不断地破碎成小涡。 换句话说，从低频的大涡到高频的小涡是一个能量级联过程，这个过程一直进行到湍动能的耗散。 如果没有连续的外部能量的提供，湍流将逐渐衰退消失，但是湍流应力和平均流动的速度梯度之间的相互作用通过频谱提供能量来防止湍流的衰退，这个过程称作“湍流的生成过程” ，且能量相对粘性耗散的产生率是一个测量流动均衡状态的量。 湍流流动是一种大雷诺数、非线性、三维非定常流动。 它具有随机性、扩散性、耗散性、有旋性、记忆特性和间歇现象等特点，运动极不规则。 为了方便研究湍流的基本特性，将湍流分

5、为均匀湍流、各向同性湍流和各向异性湍流。 均匀湍流和各向同性湍流是湍流中最简单而且在理论上研究最多的。 所谓均匀湍流是指湍流场中任何一点同一方向的速度分量的均方值处处都是相等的，任何两点的速度相关只与该两点的相对位置有关；各向同性湍流是指湍流的湍动速度分量及其对空间导数的平均值不受坐标系在空间的方位而改变。 实际的湍流，一般都是非各向同性的。 这是由于尺度大的湍动运动的速度受到平均运动流场的影响。 但对于尺度很小的湍动运动，湍动的特性不直接依赖于平均运动流场的性质，具有各向同性的特征。 因此研究这种局部各向同性的湍流具有重要的理论和实际意义。 9.1.2 湍流的基本研究方法考虑到湍流的随机性,

6、因此统计平均方法是处理湍流运动的基本方法。 设湍流运动的瞬时流场为: ),(tzyxu(9.1.1)瞬时流场中某一点流速 u 是随时间变化的。 但是湍流运动的这种非定常性并不等同于一般概念的非定常流动。 它可能是非定常的湍流，也可能仅仅是因为湍流的随机性所表现出的非定常性。 湍流中的各物理量：流速、压强等都是随机函数，具有随机函数的特点：某个量的个别测量量具有不确定性，但是大量测量结果的平均值具有确定性。 比如： ),(),(1limtzyxutzyxuNk(9.1.2)式中 u表示 的统计平均值，具有确定的函数值。 统计平均方法有很多种，在湍流研究中通常应用三种平均方法：时间平均法，空间平均

7、法和系综平均法。上式的方法就是系综平均法。 9.1.3 湍流的度量湍流的度量包括湍流强度，湍流尺度和湍流的能谱等。 所谓湍流强度是指脉动流速的均方根 u与时均流速 的比值，用 表示。 沿三个方向的湍流强度都相等的湍流场叫“各向同性湍流场” 。 wv222(9.1.3)脉动流速均方根 21021Tdtuu(9.1.4)所谓湍流尺度是指湍流气团翻滚脉动一个周期 所扫过的距离。 l(9.1.5)但是，大大小小的湍流气团的数目庞大，脉动周期 或频率 f各不相同，脉动方向也不同，气团尺寸 l及湍流强度 均随空间而衰减变化。 大湍流气团脉动频率低，每个周期扫过的距离长。 小湍流气团脉动频率高，每个周期扫过

8、的距离短。 大小湍流气团之间可以扩散交换质量、动量、能量而互相影响。 所以个别湍流气团的行为是杂乱无章，随机变化的。 但是，可以按统计学法则测量湍流集体的空间平均或时间平均特征。 湍流气团沿 x 方向每单位质量脉动能 21uE(9.1.6)显然与脉动频率 f有关。 两种特殊情况： l大 f低 E小和 l小 f高 大，出现的机会都很少。 若假设每单位质量湍流动能 随 的变化率为 21duEff(9.1.7)以 f为横坐标可以画出如下概率分布曲线f f f图 9-1 概率分布曲线9.2 湍流的统计平均方法统计平均方法是处理湍流运动问题的一个基本方法，这是由湍流的随机性质所决定的，正如前一节所介绍的

9、。 本节将对各种统计平均法作一较详细的介绍。 9.2.1 时间平均法（时均法）在湍流流场中的一点处测量流速随时间的变化，可以得到如下图象。 uuT0t t0 t图 9-2 流速随时间变化时均值的定义为： 01,lim,dtTTuxyzuxyzt(9.2.1)这样就可以把湍流运动中某一固定点的瞬时流速分为两部分，即时均流速部分和脉动流速部分： (9.2.2)式中， u表示脉动流速。 由定义可知脉动流速的时间平均值等于零，即： 01lidtTTu(9.2.3)从随机函数的性质可以知道 0t是任意取值的，应不影响时均值的大小。 但是 T必须足够大，也就是说要有足够长的时段才能使时均值成为一个稳定值。

10、 通常要求 ， 是湍流的脉动周期。 由此可见，对于不恒定流动，其流速不仅是因为湍流的随机性质而时有变化，而且因流动本身也在变化，这时时均法就不适用了。 在湍流运动中所谓流动的恒定是指其在时均的意义上是恒定的。 对于时均值，有以下计算法则。 假设 f、 g为两个物理量， s表示任一独立的自变量，有：, 0, d , , ffffggfafconsts(9.2.4)通常，对湍流中的各物理量进行时间平均，然后再应用 N-S 方程求解，是解决湍流运动问题的重要途径。9.2.2 空间平均法湍流的随机性质不仅表现在时间上，同样也表现在空间分布上。 例如在管道中的湍流流动，在任一段距离 L上任一时刻的轴向速

11、度分布都很不规则。 但如果在距离 L上取空间平均值：01lim,dxLLuutx(9.2.5)式中， u表示空间平均值， 0x为任一空间起始坐标， 则为一点的流速，注意各点的流速值应是同一时刻的。 L要有足够的长度。 另外，空间平均值也可在一个体积范围内进行。 要求空间范围必须足够大，以保证测量流速（或其他物理量）值的样本有足够的数量。 在三维情况下，空间点 0,zyx的体积平均值为：1()lim,dVutuzt(9.2.6)V 为所取空间的体积,包含 0,zyx点,且要求足够大。 只要取值范围足够大，空间平均值就与取值范围及其位置无关。 可见，空间平均法只适用于均匀流场。 9.2.3 统计平

12、均法（系综平均法）从上面的介绍可以知道，时间平均法适用于恒定湍流流动，而空间平均法适用于湍流的均匀流场。 对于不均匀的或非定常的湍流流动则只能应用对于随机变量的统计平均法。 它的做法是对重复多次的实验进行算术平均。 例如，流速 u 的统计平均值为： Nktzyxutzyx1,lim),(9.2.7)式中 u表示流速的统计平均值。 k为第 k 个实验的流速值，N 为重复实验的次数，要求 N 必须足够大。 虽然统计平均法对于流动本身不要求符合某些特殊的条件，例如它并不要求流动为定常的或是均匀的，但是利用它对湍流流动进行分析时必须同时做大量相同的试验，这是比较困难的。 反之，时间平均法和空间平均法则

13、比较容易通过试验来确定，特别是时间平均法。 为此，应该根据湍流自身的特点运用不同的方法来研究湍流流动。 通常我们都假定流场是各态遍历的，这样就可以应用任何一种平均方法了。 9.3 湍流的基本平均方程在前一节中已经介绍了研究湍流运动的统计平均方法，本节主要是在一般粘性流体流动基本方程的基础上运用统计平均的方法建立湍流运动的时均方程和脉动方程。 包括湍流的连续方程、时均运动方程（通常称为雷诺方程）和能量方程、涡量方程。 9.3.1 湍流的连续方程粘性流动的连续方程对于湍流的瞬时运动同样适用。粘性流体的连续方程（写成相对坐标形式）是： 0tw(9.3.1)w表示相对坐标系下的流动速度瞬时值。 若假定

14、湍流是各态遍历的，在湍流马赫数 tM1 时，可以用时间平均值代替统计平均值。 以 w和 代入，对连续方程取时间平均，并应用时均值的计算法则，可以得到： tt wtw(9.3.2)即， 0t(9.3.3)等式左端第三项表示由于湍流脉动影响而产生的质量变化。 由于在具体计算中很难处理，因此往往对以上方程进行简化：1. 一般平均法简化由于 dp与2w是同数量级，记作2dpw。 可以把 dp看作脉动值， 看作瞬时值，有22a(9.3.4)得到 2d (9.3.5)当湍动度比较小时，可以把 ,v看作脉动值 v,，因此有2tMwa(9.3.6)其中， tM为湍流马赫数，当湍流马赫数远小于 1，即湍流度比较

15、小时，平均连续方程可以写为： 0t(9.3.7)即， tw(9.3.8)上式适合于不可压流动或湍流度即湍流马赫数比较小的情况。2.质量加权平均法（Favre 平均法）把瞬时值写成质量加权的形式为： 0w(9.3.9)质量加权平均值 0或 0w把（9.3.9）式两端同时乘以 ，再取平均值后得到：0vw (9.3.10)推出 (9.3.11)连续方程 t 求平均后有： 0tw(9.3.12)即 0t(9.3.13)9.3.2 湍流的运动方程（雷诺方程）和推导连续方程的步骤一样，我们还是在粘性流动运动方程所表示的湍流瞬时流动方程的基础上，给出湍流的运动方程。 对运动方程 22ptwwr(9.3.14)在湍流马赫数 tM1 的条件下取时间平均，有22pt