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3、; 专题三 三角函数三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形重点考
4、查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等 31 三角函数的概念【知识要点】1角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数2弧度rad以及度与弧度的互化：3三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角a 的顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边上任意一点P(x，y)，OPr(r0)，则 4三角函数的定义域与值域：函数定义域值域ysinxR1，1ycosxR1，1ytanxR5三角函数线：正弦线，余弦线，正切线 6同角三角函数基本关系式：7诱导公式：任意角a 的三角函数与角等的三角函数之间的关系，可以统一为“ka
5、”形式，记忆规律为“将a 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”【复习要求】1会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法2根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，3会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值4理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式【例题分析】例1 (1)已知角a 的终边经过点A(1，2)，求sina ，cosa ，tana 的值；(2)设角a 的终边上一点，且，求y的值和tana 解：(1)，所以(2)得，解得【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应
6、关注其中变量的符号例2 (1)判断下列各式的符号：sin330cos(260)tan225 sin(3)cos4(2)已知cosq 0且tanq 0，那么角q 是( )A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(3)已知a 是第二象限角，求角的终边所处的位置解：如图311，图312(1)330是第四象限角，sin3300；260是第二象限角，cos(260)0；225是第三象限角，tan2250；所以sin330cos(260)tan2250.3是第三象限角，sin(3)0；5是第四象限角，cos50，所以si
7、n(3)cos50或：3357.3171.9，为第三象限角；5557.3286.5，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图311，图312两个坐标系应予以重视 (2)cosq 0，所以角q 终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上tanq 0，所以角q 终边在第二或第四象限中，所以角q 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是a 是第二象限角，所以2kpa 2kpp，(kZ)，所以如下图313，可得是第一象
8、限或第三象限角，又4kpp2a 4kp2p，2a 是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图311，图312，从角度制和弧度制两个角度处理；(2)遇到弧度制问题也可以由57.3化为角度处理；(3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况(4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练如第一象限角：，注意防止的错误写法例3 (1)已知tana 3，且a 为第三象限角，求sina ，cosa 的值；(2)已知，求sina tana 的值；(3)已知tana 2，求值：；sin2a sina cosa 解：(1)因为a
9、为第三象限角，所以sina 0，cosa 0，得到(2)因为，且不等于1，所以a 为第二或第三象限角，当a 为第二象限角时，sina 0，所以当a 为第三象限角时，sina 0，所以综上所述：当a 为第二象限角时，当a 为第三象限角时，【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号)(3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tana 2，所以原式，原式(2cosa )2(2cosa )cosa 2cos2a ，因为，得
10、到，所以(法二)：原式原式【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用将切化弦，使得问题得以解决；(2)1的灵活运用，也可以利用sin2a cos2a 1，将弦化为切例4 求值：(1)tan2010_； (2)_；(3)解：(1)tan2010tan(1800210)tan210tan(18030)(2)或:【评析】“将a 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，可以看出是的2倍(偶数倍)，借助图312看出为第二象限角，正弦值为正(3)原式【分析】，将a 看做锐角，借助图312看出为第三象限角，正
11、弦值为负，的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得，同理可得，所以原式.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将a 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦例5 已知角a 的终边经过点，则a 的值为( )ABCD解：因为，所以点在第二象限中，由三角函数定义得，因为角a 的终边在第二象限，所以，所以，选D例6 化简下列各式：(1)若q 为第四象限角，化简 (2)化简(3)化简解：(1)原式，因为q 为第四象限角，所以cosq 0，原式，(2)原
12、式当q 为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时，cosq 0，所以原式，当q 为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时，cosq 0，所以原式.(3)原式.4弧度属于第三象限角，所以sin40，cos40，所以原式(sin4cos4)sin4cos4【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：(1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sina cosa )212sina cosa 1sin2a 的应用例7 扇形的周长为定值L，问它的圆心角q (0q p)取何值时，扇形的
13、面积S最大?并求出最大值解：设扇形的半径为，则周长Lrq 2r(0q p)所以因为，当且仅当，即q 2(0，p)时等号成立此时，所以，当q 2时，S的最大值为.练习31一、选择题1已知，角a 终边上一点P(2，t)，则t的值为( )ABCD2“tana 1”是“”的( )A充分而不必要条件B必要不而充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知点P(sina cosa ，tana )在第一象限，则在0，2p上角a 的取值范围是( )ABCD4化简( )Asin10cos10Bsin10cos
14、10Ccos10sin10Dsin10cos10二、填空题5已知角a ，b 满足关系，则a b 的取值范围是_6扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为_7若，则tan(pa )_8已知：，则cosa sina _三、解答题9已知tana 2，且cos(pa )0，求(1)sina cosa 的值 (2)的值10已知，求值：(1)； (2)cos2a 2sina cosa 11化简32 三角变换【知识要点】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(a b )sina cosb cosa sinb ；sin(a b )sina cosb
15、cosa sinb ；cos(a b )cosa cosb sina sinb ；cos(a b )cosa cosb sina sinb ；2正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2a 2sina cosa ：cos2a cos2a sin2a 12sin2a 2cos2a 1；【复习要求】1牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用；2掌握三角变换的通法和一般规律；3熟练掌握三角函数求值问题【例题分析】例1 (1)求值sin75_；(2)设，则_；(3)已知角的终边经过点(1，2)，则的值为_；(4)求值_解：(1)(2)因为，(3)由三角函数定义得，所以.(4)【评析】
16、两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心注意和运用例2 求值：(1)_；(2)cos43cos77sin43cos167_；(3)_解：(1)原式.【评析】辅助角公式：应熟练掌握，另外本题还可变形为(2)分析所给的角有如下关系：7743120，1679077，原式cos43cos77sin43cos(9077)cos43cos77sin43sin77cos(4377)cos120(3)分析所给的角有如下关系：372360，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tanatanb 与两角正切的积tana tanb ，所有均指向公式【评析】三角变换的一般规律：
