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1、今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 专题六 平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用61 向量的概念与运算【知识要点】1向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量(2)向量的模：向量的
2、长度，记作：向量的夹角：两个非零向量a，b，作，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：a，b零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量相反向量：长度相等，方向相反的向量向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量记作ab向量垂直；a，b)90时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直2向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则(2)减法：三角形法则(3)数乘：记作：l a它的长度是：l al a它
3、的方向：当l 0时，l a与a同向当l 0时，l a与a反向当l 0时，l a0(4)数量积：定义：ababcosa，b其物理背景是力在位移方向所做的功运算律：1(交换律)abba2(实数的结合律)l (ab)(l a)ba(l b)3(分配律)(ab)cacbc性质：设a，b是非零向量，则：ab0aba与b同向时，ababa与b反向时，abab特殊地：aaa2或夹角：|ab|a| |b|3向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)加法：ab(x1x2，y1y2)(2)减法：ab(x1x2，y1y2)(3)数乘：l a(l x1，l y1)(4)数量积：abx
4、1x2y1y2(5)若a(x，y)，则(6)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(8)a在b方向上的正射影的数量为4重要定理(1)平行向量基本定理：若al b，则ab，反之：若ab，且b0，则存在唯一的实数l 使得al b(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使aa1e1a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a(x1，y1)，b(x2，y2)则：abx1y2x2y10，abx1x2y1y20(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则【复
5、习要求】1准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题【例题分析】例1 向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个(1)(bc)a(ca)b与c垂直，(2)若acbc，则ab，(3)(ab)ca(bc)，(4)ababA0B1C2D3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0
6、，所以c(bc)a(ca)b与c垂直；(2)假命题acbcab；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；(3)假命题(ab)ca(bc)，实际上(ab)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(bc)是与a方向相同或相反的一个向量，向量a、c的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题ababcosa，b，且cosa，b1，所以abab解答：选C【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认
7、识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质例2 已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c( )ABCD【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解解：不妨设c(m，n)，则ac(1m，2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又c(ab)，则有3mn0，则有故选择D【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用此
8、外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法例3 (1)已知向量，且A、B、C三点共线，求实数k的值(2)已知向量a(1，1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，求实数k的值【分析】(1)向量a与b(b0)共线存在实数m使amb当已知向量的坐标时，abx1y2x2y10(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题ab0abx1x2y1y20解：(1),A、B、C三点共线，即(4k)(5)(4k)(7)0，解得：(2)由(ka2b)a，得(ka2b)aka22ba2k2(23)0，所以k1【评析】向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数m使amb；当已知向量的坐标时，abx1
9、y2x2y10若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合例4 已知：a2，b5，a，b60，求：ab；(2 ab)b；2ab；2 ab与b的夹角q 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：ababcosa，bx1x2y1y2，若a(x，y)，则解：a2，b5，a，b60，ababcosa，b5；(2ab)b2a
10、bbb102535；【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式例5 已知向量a(sinq ，cosq 2sinq )，b(1，2)()若ab，求tanq 的值；()若ab，0q p，求q 的值【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画解：()因为ab，所以2sinq cosq 2sinq ，于是4sinq cosq ，故()由ab知，sin2q (cosq 2sinq )25，所以12sin2q 4sin2q 5从而2sin2q 2(1cos2q )4，即si
11、n2q cos2q 1，于是又由0q p知，所以，或因此，或例6 设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为( )(A)2(B)(C)1(D)【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：a，b，c是单位向量，(ac)(bc)ab(ab)cc2故选D例7 在ABC，已知，求角A，B，C的大小【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题解：设BCa，ACb，ABc由得，所以又A(0，p)，因此由得，于是所以，因此，即由知，所以，从而，或，即，或，故，或【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此
12、，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要练习61一、选择题1平面向量a，b共线的充要条件是( )Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量Cl R，bl aD存在不全为零的实数l 1，l 2，l 1al 2b02已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，l ab与a垂直，则l 是( )A1B1C2D23已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为( )ABC(3，2)D(1，3)4设ABC的三个内角A，B，C，向量，若mn1cos(AB)，则C( )ABCD二、填空题5设a(2k2，4)，b(8，k1)，若a与b共线，则k值为_6已知向量，若，则 m_7已知M(3，2)，N(5，1)，则P点坐标为_8已知a21，b22，(ab)a0，则a和b的夹角是_三、解答题9已知向量a(x3，x23x4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值10已知向量a与b同向，b(1，2)，ab10(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a11若向量a与b的夹角为60，b4，(a2b)(a3b)72，求向量a的模62 向量的应用【知识要点】1向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识；2以向量为载体考查三角函数的知识；3在解析几何中用向量
