广义逆矩阵及其应用]

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1、第七章 广义逆矩阵及其应用 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广， 这种推广的必要性， 首先是从线性方程组的求解问题出发的， 设有线性方程组 bAx = （0 1） 当 A 是阶方阵，且时，则方程组（）的解存在、唯一，并可写成 0detA （0 2） bAx 1 = 但是， 在许多实际问题中所遇到的矩阵 A 往往是奇异方阵或是任意的nm矩阵 （一般nm ） ， 显然不存在通常的逆矩阵，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵 类似性质的矩阵 G，使得其解仍可以表示为类似于式（02）的紧凑形式？即 1 A Gbx = （0 3） 1920 年摩尔（E. H. Moore）首先引进了广义

2、逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视， 直到 1955 年，彭诺斯（R. Penrose）以更明确的形式给出了 Moore 的广义逆矩阵的定义之后，广义 逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代 控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一 学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。 本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。 1 矩阵的几种广义逆 11 广义逆矩阵的基本概念 1955 年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵，如果存在复矩阵，满足 mxn A nxm A

3、 AAXA = （11） XXAX = （12） AXAX H =)( （13） XAXA H =)( （14） 则称 X 为 A 的一个 MoorePenrose 广义逆，并把上面四个方程叫做 MoorePenrose 方程，简称 M P 方程。 由于 MP 的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的， 常常考虑满足部分方程的 X，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。 定义定义 11 设，若有某个，满足 MP 方程（11）（14）中的全部 或其中的一部分，则称 X 为 A 的广义逆矩阵。 mxn CA mxn CX 例如有某个 X，只要满足式

4、（11） ，则 X 为 A 的1广义逆，记为1AX ；如果另一个 Y 满足式（11） 、 （12） ，则 Y 为 A 的1，2广义逆，记为Y2 , 1A；如果，则 X 同时满足四个方程，它就是 MoorePenrose 广义逆，等等。总之，按照定义 11 可推得，满足 1 个、2 个、3 个、4 个 MoorePenrose 方程的广义逆矩阵共有种，但应用 较多的是以下五种 4 , 3 , 2 , 1 15= AX 4 4 3 4 +CC 2 4 1 4 +CC+ 4 , 3 , 2 , 1,4 , 1,3 , 1,2 , 1,1AAAAA 以后将会看到，只有是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都

5、不能唯一确定，每一种广义 逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下； 4,3,2, 1A 1：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或 g 逆，记为 A1A ； 2A1，2：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为 Ar； 3A1，3：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为 Am； 4A1，4：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为 Ai； 5A1，2，3，4：唯一，称作加号逆，或伪逆，或 Moore-Penrose 逆，记为 A+。 为叙述简单起见，下面我们以 Rn及实矩阵为例进行讨论，对于 Cn及复的矩阵也有相应结果。 12 减号逆减号逆 A 定义定义 12 设有实

6、矩阵 A （mn， 当 mn 时， 可讨论 Anm T） 。 若有一个 实矩阵 （记 为A mn ）存在，使下式成立，则称 A为 A 的减号逆或 g 逆： A A A = A （1 5） 当 A 1 存在时，显然 A 1 满足上式，可见减号逆 A 是普通逆矩阵 A1 的推广；另外，由 A A A = A 得 （A A A ）T = AT 即 AT（A ）T AT = AT 可见，当 A 为 A 的一个减号逆时， （A）T就是 AT的一个减号逆。 例 11 设，易知 = = = 100 001 , 010 001 , 01 01 01 CBA ABA=B， ACA=A 故 B 与 C 均为 A

7、的减号逆。 例例 12 若 则 ，其中*是任意的实数。 nm r I A = 00 0 mn r I A = * * 证 因为对任意的 ，都有 mn r I * * = nm r I 00 0 mn r I * * nm r I 00 0 nm r I 00 0 所以 mn r I A = * * 反之，任意的，若满足 mn XX XX X = 43 21 00 0 r I 43 21 XX XX 00 0 r I = 00 0 r I 必须有，即 X 为的形状 证毕 r IX = 1 * * r I 例 12 表明，标准形的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*位置，就是一个 减号逆，填不

8、同数，就得到不同减号逆。 00 0 r I 下面我们讨论当 A 为非零矩阵时，如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆，即讨论 A 的存在性。 引理引理 设 Bmn=PmmAmnQnn ，其中 P，Q 都是满秩方阵，如果已知 B 的减号逆为 B ，则 矩阵 A 的减号逆 A=QB P （16） 证证 因为已知 B 是 B 的减号逆，所以有 B B B=B （PAQ）B （PAQ）=PAQ 由于 P 与 Q 非奇异，故有 A（Q B P）A=A 从而有 A = Q BP 证毕 这个引理说明，两个等价的矩阵 A，B（即满足 B=PAQ） ，如果其中一个的减号逆可求出来，那 么，另一个的减号逆也

9、可以求出来。 定理定理 11（存在性） 任给阶矩阵 A，那么减号逆 Anm 一定存在，但不唯一。 证 分两种情况，如果 rank A=0 即，A=0mn，这时对任意的 mxn RX ，都有 0X0=0，所以任 意阶矩阵 X 都是零矩阵的减号逆。 mn 再设 rank A=r0，那么存在 m 阶满秩矩阵 P 与 n 阶满秩矩阵 Q，使得 nmr RB I PAQ = = 00 0 由例 12 知，存在 *为任意实数 , * * = r I B 再由引理知，存在 P I QA r = * * 只要 A 非满秩，由于*的任意性，所以 A 非唯一。 证毕. 例例 13 设，求 A = 322 211

10、A . 解 为要将 A 通过初等行与列变换,化为一个等价的标准形,我们在 A 的右边放上一个 I2 ,在 A 的下方放上一个 I3 ,当 A 变成 Ir时,则 I2就变成 P,而 I3就变成 Q . = + + + + 412 100 723 10010 01001 412 100 723 10010 01001 142 010 273 10100 01001 100 010 211 10142 01001 100 010 001 10322 01211 2 3231 31 21 13 )1( 22 4 )2( 3 2 r CCCC CC CC CC I IA 这就是说 = = = = 412

11、 100 723 , 10 01 0 010 001 412 100 723 10 01 2 QP BIPAQ A 但标准形 B 的减号逆为 ,*为任意实数 = * 10 01 B 故得 为任意实数 ,* * 10 01 PQA = 设有 mxn RA，下面的定理给出了 rank A 与 rank A 之间的关系。 定理理 12 rank A rank（A A）rank A 证 因为AA A=A，即（AA）A=A，所以有 rank（AA）rank A 又因为 rank A rank（A A） ，故 rank A rank（A A）rank A 证毕 这个定理说明，A 的秩总不会小于 A 的秩，

12、这从例 12 也可看出。 13 自反广义逆自反广义逆 r A 众所周知，对于普通的逆矩阵，有，但这一事实对于减号逆 A 一般不成立。 例如，由例 11 知 1 AAA= 11) ( = = 010 001 , 01 01 01 AA 但 =AAAA 001 001 即，为了使 A 与能互为减号逆，我们不妨对前面定义的减号逆 A 加以限制，使 A 具 有这种“自反”的性质。下面我们给出自反广义逆矩阵的定义。 AA ) ( A 定义定义 13 对于一个阶实矩阵 A，使 nm AXA=A 及 XAX=X 同时成立的阶实矩阵 X，称为是 A 的一个自反广义逆，用 Amn r表示，即有 A Ar A=A 及其 Ar A Ar = Ar 显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，此时，它满足自反性质。 AA= ) ( 下面我们来构造自反广义逆的一种算法，我们先引进所谓“最大秩矩阵的右逆、左逆”的概念。 一、最大秩矩阵的右逆和左逆 定义义 14 设 A 是行最大秩的nm阶实矩阵（nm ） ，如果存在一个阶矩阵 G， 当 G 右乘 A 后得到一个阶单位阵 I，即 mn nm AG=I （17） 则 G 叫做 A 的右逆，记作，这就是说，有 1 R A （18） IAAR= 1 一般来说，右逆可用下面的方法来计算，因为是满秩的方阵，故有 1 R A T AA