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1、目 录 引言(1)一 极限运算中变量替换的应用(1) (一) 对于 (或)型极限(2) (二)对于型极限(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限的求法(3) (四) 求数列的极限(4)二 不定积分运算中常用的变量替换(6) (一) 三角函数代换(6) (二) 倒数代换(7) (三) 指数代换(8) (四) 不定积分的计算，其中是由方程所确定的的函数(8)三 定积分运算中常用的变量替换(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积
2、函数定积分的计算。(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换(12)四 解微分方程中变量替换的应用技巧(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用(15) (三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用(15)五 重积分中变量替换的应用(16) (一) 二重积分计算中的变量替换(16) (二) 利用直角坐标系计算(18) (三) 利用柱面坐标系计算(19) (四) 利用球面坐标系计算(19)结束语 (19)参考文献(20)高等数学中常见的变量替换鲁友栋（数学系 辽宁 中国）摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可
3、以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“”型，“”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。关键词 变量替换 积分 极限引言在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果
4、，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。一 极限运算中变量替换的应用(一) 对于（或）型极限若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求
5、解，常作的替换是令例1，求下列极限：（1）（2）解：（1）直接用洛必达法则，得原式此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！考虑变量替换，得原式；（2）解：令，得原式.(二) 对于型极限此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于最快的项）。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。1例1，求解：令得原式.例2：求解：令得原式.(三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限的求法。解题方法： 将隐函数化为参数式 将化为的形式，可由观察法得出。2例：设有方程，求(1) 曲线的渐近线方程(2)求出与渐近线平行的切线。解：令，则，进
6、而(1) 故斜渐近线为：，即(2) 方程的斜率为：而渐近线的斜率：，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相等，即，即，解得或，将代入方程得(矛盾)，所以。将其代入，得切点.故所求的切线方程：，即.或者，即.(四) 求数列的极限解题方法： 先作出与数列同类形的连续变量的函数;再求该函数当时的极限，该极限即为数列的极限。例1求下列数列的极限：(1)，其中; (2)，.解：(1)显然时，原极限为1当时，先求。由于,则，故.(2)先求.故.例2：设数列由下式给出：.试求.解：易知为正项数列，所以由知递增，于是且递减，有下界0，从而知有极限.从知 于是,有 设，由式变形为，两边取时的极限有所以由式得例3：
7、设，任选 ，作 ,，,证明：存在并求值。解：，令，则所以.故,由题设条件，显见且又，所以数列单调减少有下界，因而该数列必收敛，记，在(1)式中令，得，解得，取其正值便得.二 不定积分运算中常用的变量替换(一) 三角函数代换在被积函数中含有分别作变量代换：，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变量还原。(1) (2) (3)解：(1)令;则(2) 令，则(3) 令 则(二) 倒数代换一般令.适用于的情形，其中分别为被积函数的分母和分子关于的最高次数。例：(1) ; (2); (3).解：(1)令，得.(2)令，得 .(3)令，得 .(三) 指数代换当被积函数是由所构成的代数式的积分时，一般采用指
8、数代换即令来求解。例：求下列积分(1) (2)解：(1)令，则有， ;(2)令，则，有 .(四) 不定积分的计算，其中是由方程=0所确定的的函数。解题方法：将方程，代为参数方程将参数方程代入，即.变量还原将积分结果化为的关系式.例：求下列积分(1)设，求，(2)设，求.解(1)令，则代入，得于是： ;(2)令，代入方程中，得,则有.于是 .三 定积分运算中常用的变量替换(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法，解题方法：作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式，其中为中间变量，此时积分变为变上限(下限)积分；利用变上限(下限)积分的微分法求解。例1：设为(-，+)上的连续函数，
9、且求.解：令则 ,而 例2：求下列函数的导数(1)，求，(2)，求，解：(1)令，令有，则.于是.(2)令，则则于是 .(二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算解题方法：作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式，其中为中间变量然后再积分或作判断例1：设连续，证明证明： , 将式代入式，得 即证。例2：设 求.解： .(三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。解题分法：若积分限为时,则令时，则令时，则令时，则令例1：求下列积分(1) (2)解：(1)令则(2) 令，得故，即例2证明：，为正整数。证明：(四) 定积分等式的证明中所作的变量
10、替换。解题方法：任何变量替换，主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为，另一端为，则令。若一端为，另一端为则所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定。1例1证明分析：比较与，可知，应令，则，进而或证明：.例2设连续，试证；并求的值。分析：比较两边的被积函数,可知只要，即命题即可得证。证明：利用上式可得.四 解微分方程中变量替换的应用技巧(一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用解题方法：方程中出现等形式的项时，通常要使用相应的变量替换：等。3例1：求解下列微分方程(1) (2)(3) (4)解：(1)令，代入方程得，即则故原方程的通解
11、为：,(2)令，代入方程，得，即，则即故原方程的通解：,(3)令，代入方程，得，即，亦即，进而则，即故原方程的通解：,(4)令，代入原方程，得即，解得，即.故原方程的通解：.(二) 求解齐次方程中变量替换的应用解题方法：令代入原方程，得，则例：求解下列微分方程(1)； (2).解：(1)由原方程得令，代入方程，得所以，即，解得：即，因此(2)，令代入原方程，得，所以，解得，即(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用例：求解下列方程(1)， (2)解：(1)由知，即，令，则原方程变为 特征方程：即，特解于是方程的通解为：，故原方程的通解为(2)令，于是，原方程变为即，则 则方程的齐次方程：.则，
12、解得，即.令方程的解为，将其代入，并整理得解得故方程的通解为：故原方程的通解为：.五 重积分中变量替换的应用(一) 二重积分计算中的变量替换设被积函数在区域上连续，若变换，满足如下条件(1)将uov平面上的区域上的点一对一地变为上的点；(2)在上有连续的一阶编导数，且雅可比行列式则同样，作什么变换主要取决于积分域D的形状，有时也兼顾被积函数的形状，基本想法是定限简便，求积容易。例1：计算，其中D是由曲线在第一象限中所围成的区域。4解：是一个四次方程，要解出(或)相当难。因此不宜在直角坐标系中计算。为此，令则曲线方程变为，即，又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是因而令，得，故例2：设为连续函数，证明：.其中D为矩形域，(常数)如图(1)，证明：令，则如图(2)xyaa-a-a0(1)xy0-(2) 故： .(二) 利用直角坐标系计算例1，其中为之间。解：如图yxzx2+z
