《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 1.1 映射与函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分 经管类 上册 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 顾聪 姜永艳 1.1 映射与函数（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第 1 章,二、区间与邻域,三、函数,一、集合,第 1 节,映射与函数,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 集合,1. 集合的概念,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,简称集,简称元,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有
2、的特征,例: 整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合的运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,无限区间,半开区间,二、区间与邻域,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,定义域,三、函数,1. 函数的概念,定义4. 设数集,则称映射,
3、为定义在,D 上的函数 ,记为,称为值域,函数图形:,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图像法,、列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.,对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；,例1. 已知函数,解:,f (x) 的定义域,值域,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .,(2) 单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M ,
4、 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,说明: 给定,则,偶函数,奇函数,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄利克雷函数,x 为有理数
5、,x 为无理数,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 ., 其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,使,其中,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,但可定义复合函数,时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数,当改,4. 初等函数,(1)
6、基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,设函数,x 换为 f (x),例2.,解:,例3. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,内容小结,1. 集合及区间的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,2. 函数的定义及函数的二要素,第二节,
