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1、8.3.1 三角级数与三角函数系的其正交性,8.3.2 周期为2的函数展开为傅里叶级数,8.3.3 定义在有限区间上的函数展开成傅 里叶级数,8.3.4 周期为2L的函数展开为傅里叶级数函数,8.3 傅里叶(Fourier)级数,8.3.5 傅里叶级数的应用举例,第 8 章 级 数,引入:,如电子技术中常用的周期为T矩形波可看成若干个正弦波叠加合成.振动叠加合成对应的三角级数如下:,下面图分别是由上面级数的前1，2，3，6项而得到曲线。,1.三角函数系(定义1)：,由这些组成的函数序列叫做三角函数系。,2. 三角函数系的正交性 :,从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，在区间 , 上的定积分，
2、,其值都为零 .,这实际上只需证明以下五个等,式成立,8.3.1 三角级数与三角函数系的其正交性,以上结果，这里就不证明了 .,8.3.2 周期为2的函数展开为傅里叶级数,1. 三角级数 ;,2. 傅里叶系数与傅里叶级数;,3. 周期函数的收敛定理;,4. 周期函数展开为傅里叶级数应用举例;,如下形式的函数项级数,称为三角级数 .,且可逐项积分 ，,1.三角级数,2. 傅里叶系数与傅里叶级数,设:,注 意到三角函数系的正交性，,即有,于是有,为了求出系数 an ，我们用 cos kx 乘级数 ，然后在逐项积分,所以,由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，,时,各项全为零,当 k = n 时有
3、下式:,当,其余各项均为零 .,因此,用类似的方法，,可得到,注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表达式，,因此求系数 an , bn 的公式可以 归并为,由傅里叶系数 组成的 三角级数称为傅里叶级数.,an , bn 称为傅里叶系数.,收敛定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ),设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，,如果它满 足条件 :,在一个周期内连续或只有有限个第一类 间断点，,并且至多只有有限个极值点，,则 f(x) 的 傅里叶级数收敛，并且有以下结论:,3. 周期函数的收敛定理;,级数收敛于,(2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，
4、,级数收敛于 f(x) ;,(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，,其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，,f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .,4. 周期函数展开为傅里叶级数应用举例,它在 , ) 上的表达式为,试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .,设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函,例 1,数 ，,这是一个矩形波，,它显然满足收敛定理的条件 ，,因为在计算,又,根据收敛定理可知，,当 x k (k = 0 , 12 ，) 时，,傅里叶级数收敛于 f(x) ，,即,所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 .,图形在 x = k (k=0 , 1 ,
5、2 ，) 各点处与例 2 不同.,当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,级数收敛于,例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，,它在 , ) 上的表达式为,试将其展开成傅里叶级数.,解 计算傅里叶系数,所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，,即,级数收敛 于,当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ) 时，,当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，,级数收敛于 0 .,图中给出了它的和函数的图形.,8.3.3 定义在有限区间上的函数展开成傅里叶级数,只含有正弦函数包括常数的傅里叶级数.,正弦函数:,余弦级数:
6、只含有余弦函数包括常数项傅里叶级数.,周期延拓：,将非周期函数拓展成周期函数，称为周 期延拓。它包含以下几种:,定义在 , 内的函数平移延拓;,2. 定义在0， 上的函数奇延拓、偶延拓,假设函数 f(x)定义在 , 内，是奇函数或偶函数，,将其平移在 , 外补充定义以2为周期的且满足收敛的条件的函数F(x) ，在 , 上 f (x)=F (x) 。那么其傅里叶级数一定是正弦级数或者余弦级数。,定义在 , 内的函数平移延拓,这是因为在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，,而奇函数在对称区间上的积分为零 ，,所以,此时傅氏级数为,当函数 f(x) 在 , 内为奇函数时,正弦级数,当函
7、数 f(x) 是定义在 , 偶函数时，同理可以 推出，其展开式为,此时傅里叶系数为,余弦级数,例3. 设函数 f (x) = 是定义在 , 偶函数， 将其展开成傅里叶级数。,解：,将 作平移周期延拓，延拓后为偶函数，如下图：,则：,延拓后，处处连续，所以,2. 定义在0， 上的函数奇延拓、偶延拓 函数 在 上有定义，只要函数 在 上满足收敛定理的条件，根据实际情况的需要，在 外补充定义到 上，使之在上成为偶函数或奇函数，在 中，再将展开成傅里叶级数即可。 奇延拓：在 外补充定义到 使之成为奇函数,即可展开成正弦级数；,偶延拓：在 外补充定义到 的偶函数,即可展开成余弦级数。,例2 设 定义在
8、函数，分别展开正弦 级数与余弦级数。,解 偶延拓展开正弦级数：,如下图：,求级数的系数和展开式,偶延拓后，处处连续，则：,=,奇延拓展开为余弦级数：,如下图：,则：,在0与处间断，则有：,=,周期为 的函数如何展开成三角级数？,作变换： ，则 ，,则函数 是 为周期的函数,对任意的t,8.3.4 周期为 2L 的周期函数f(x) 展开成傅里叶级数,将 展开为傅里叶级数：,其中:,回代，,得到周期为 函数的傅里叶级数展开,与其系数的计算公式如下：,例5 展开下面函数为傅里叶级数,解 将函数进行周期延拓，如下图虚线部分：,f(x),-2,-4,4,2,6,-6,k,则 的傅里叶级数：（只在点x=k
9、x处 与傅里叶级数的值不同）,补充介绍：傅里叶级数的指数形式,利用欧拉公式,可将傅里叶级数的三角形式转换为指数形式,其中,(n=0,+1,+2,+3,),8.3.5 傅里叶级数的应用举例,在无线电技术中，为了便于研究信号传输与信号处理问题，往往将一些信号分解为比较简单的信号分量之和任何周期信号只要满足逼近定理的条件就可以分解成直流分量及许多正弦，余弦分量的叠加下面介绍三种常用周期信号的三角逼近多项式,1.周期矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号 f(t) 的脉冲宽度为,脉冲幅度为 E，周期为T ,2.周期锯齿脉冲信号,周期锯齿脉冲信号如下图所示：,周期锯齿脉冲信号如下图所示：,3.周期三角脉冲信号,
10、周期三角脉冲信号如下图所示：,周期三角脉冲信号如下图所示：,1. 以2为周期的函数的三角逼近,三角级数：,逼近定理：,(1),连续或只有有限个第一类间断点；,(2),只有有限个极值点.,总结如下:,2.三角级数逼近的系数,三角函数系：,三角函数系的正交性,三角函数系的正交性是指在三角函数系中， 任何不同的两个函数的乘积在区间-, 上的积分等于 0,2.三角级数逼近的系数,n阶傅氏级数,3.以T为周期的函数的三角逼近,关键的一步:,引入变换,通过变换将其变为以2为周期的函数.,4.几种常见信号的三角逼近多项式,(1)周期矩形脉冲信号,(2)周期锯齿脉冲信号,(3)周期三角脉冲信号,本节的学习目的与要求,1 了解傅里叶公式与级数的概念; 2 知道狄利克雷定理的条件和结论，会将周期函数展成傅里叶级数; 3 了解奇、偶延拓的方法。,本节的重点与难点,重点 1 幂级数的收敛半径、收敛区间的求法; 2 幂级数在收敛区间上的和函数; 3. 一些简单的函数展成幂级数的方法 。 难点 1. 定义在相关区间上的函数展成傅里叶级数; 奇、偶延拓的方法 。,
