《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 5-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 5-5（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.5 定积分在几何中的应用,5.5.1 定积分的微元法,5.5.2 平面图形的面积,5.5.4 平面曲线的弧长,5.5.3 体积,第 5 章 定积分及其应用,5.5.1 定积分的元素法,求曲边梯形面积的有关知识,一、预备知识,根据定积分的几何意义知，如图所示曲边梯形的面积为,求面积A的步骤为:,（3）求和: 得A的近似值,（4） 求极限: 得A的精确值,提示,这个方法通常叫做元素法(微元法),应用范围：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,二、微元法,微元法的一般步骤：,5.5.2平面图形的面积,一、预备知识,1.直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识 。,2.极
2、坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的相关知识。,3.扇形的面积公式：,圆半径,圆心角,1.直角坐标系下平面图形的面积,曲边梯形的面积,如图：由曲线,和直线,所组 成的曲边梯形的面积的微元素：,所以,二、平面图形的面积,如图：求由曲线,以及直线,所围成,（1）如图,以,（2）在,为积分变量，积分区间为,图形的面积,内任取一小区间,解,两曲线的交点,面积元素,以 为积分变量，积分区间为,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题:,积分变量只能选 吗？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程
3、,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,曲边扇形的面积,面积元素,2. 极坐标系下平面图形的面积,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,解,利用对称性知,5.5.3 体积,一、预备知识,1.微元法的实质,2.柱体体积公式,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,1. 平行截面面积为已知的立体的体积,二、体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.
4、 旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线 方程为,第五节 定积分在几何中的应用,5.5.4 平面曲线的弧长,一、预备知识,由第三章公式（3-2）,知s的微元素,1.直角坐标下平面曲线的弧长,由第三章公式（3-2）,知s的微元素,得,弧长,二、平面曲线的弧长,解,所求弧长为,设曲线的参数方程为,弧长,2. 参数方程情形,解,一拱,的长度。,小结,1. 元素法的提出、思想、步骤.,（注意微元法的本质）,2.求在直角坐标系和极坐标系以及参数方程形式下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,3.(1)平行截面面积为已知的立体的体积,(2)旋转体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转
5、一周,绕非轴直线旋转一周,4.求弧长的公式,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下（略）,1.求由曲线,及直线,所围成图形,的面积。,解,两曲线的交点为,为积分,变量，积分区间为-3，1。,面积 的微元素,练习题,交点,立体体积,解,习题5-5,习题5-5答案,本节的学习目的与要求,1 理解微元法； 2 掌握微元法的解题步骤； 3 掌握以x、y为积分变量时用微元法求直角坐标系下平面图形的面积； 4 了解用微元法求极坐标系下平面图形的面积； 5 了解用微元法求平行截面面积为已知的立体体积； 6 掌握用微元法求简单旋转体的体积； 7 了解求平面曲线的弧长公式。,本节的重点与难点,重点 1 掌握微元法的解题步骤 2 用微元法求面积 3 用微元法求体积 4 用微元法求弧长 难点 应用微元法求面积、体积和弧长 。,
