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1、變分第9章變分熱身練習1.(a)子軒用5分鐘打了210字。求他打字的速率。(b)一輛的士行駛2小時，共走了124 km。求該的士的行駛速率。(c)3盒朱古力售$264。試以$/盒表示朱古力的售價。2.求以下的比。(a)28% : 72%(b)8.4 g : 6 g(c)55 cm : 1 m(d)9 kg : 2500 g3.下列哪一個比和7 : 4不同？7% : 4%70 : 401.754.(a)若130增加10%，求新值。(b)若x增加10%，試以x表示新值。5.(a)若96減少5%，求新值。(b)若y減少5%，試以y表示新值。6.花瓶的價值由$3000上升至$7200。求該花瓶價值增加
2、的百分數。7.氣球內空氣的體積由425 cm3減至170 cm3。求該氣球內空氣的體積減少的百分數。8.考慮y = 2x4。(a)求當x = 3時y的值。(b)若x增加50%，求y的百分數增減。9.1正變 教育出版社有限公司41已知y隨x正變。當x = 6時，y = 2。(a)求變分常數，並以x表示y。(b)求當x = 9時y的值。解(a)由於yx，所以y = kx，其中k 0。把x = 6和y = 2代入y = kx。2= k(6)k=變分常數是。y =(b)當x = 9時，y= 3已知y隨x正變。當x = 5時，y = 10。(a)求變分常數，並以x表示y。(b)求當x = 4時y的值。解
3、設yx。下表列出x和y的一些對應值。求a和b的值。x23bya2135解由於yx，所以y = kx，其中k 0。把x = 3和y = 21代入y = kx。21= k(3)k= 7y = 7x把x = 2和y = a代入y = 7x。a= 7(2)= 14把x = b和y = 35代入y = 7x。35= 7(b)b= 5另解由於yx，所以對於x和y不同的對應值，y與x的比都相等。=a= 14同樣地，=b= 5設yx。下表列出x和y的一些對應值。求m和n的值。x3m7y1220n解已知y和x成正比。當x = 4時，y = 2。(a)繪畫y對x在x = 0至x = 5之間的圖像。(b)求變分常數
4、。由此，求一個聯繫x和y的方程。(c)利用圖解法，求當y = 1時x的值。解(a)由於yx，及當x = 4時y = 2，所以直線會穿過(0, 0)和(4,2)。所需圖像如下所示：(b)變分常數=直線的斜率= 所需方程是y =。(c)從圖像可知，當y = 1時，x = 2已知y和x成正比。當x = 4時，y = 12。(a)繪畫y對x在x = 0至x = 5之間的圖像。(b)求變分常數。由此，求一個聯繫x和y的方程。(c)利用圖解法，求當y = 9時x的值。解已知z隨正變。若x減少19%，求z的百分數增減。解由於z，所以z =，其中k 0。x的新值= x(1 19%)= 0.81xz的新值=z的
5、百分數增減= 10%已知z隨x2正變。若x增加40%，求z的百分數增減。解1.已知y隨x正變。當x = 3時，y = 18。(a)求變分常數，並以x表示y。(b)求當x = 5時y的值。(c)求當y = 72時x的值。2.設y和x成正比。當x = 4時，y = 6。(a)求變分常數。由此，求一個聯繫x和y的方程。(b)求當x = 6時y的值。(c)求當y = 15時x的值。3.已知vt。當t = 5時，v = 40。(a)求一個聯繫t和v的方程。(b)(i)求當t = 7時v的值。(ii)求當v = 32時t的值。4.已知A隨h正變。當h = 8時，A = 28。(a)試以h表示A。(b)求當
6、h = 14時A的值。(c)若h增至兩倍，A會有何改變？5.設z和x成正比。當x = 2.5時，z = 30。求當x = 9時z的值。6.設yx。下表列出x和y的一些對應值。求a和b的值。x39by15a607.設Fd。下表列出d和F的一些對應值。求m和n的值。dm1045F1.2n278.已知y和x成正比。當x = 5時，y = 8。(a)繪畫y對x在x = 0至x = 7之間的圖像。(b)求變分常數。由此，求一個聯繫x和y的方程。(c)利用圖解法，求當y = 7.2時x的值。01636yx9.已知y隨x正變。下圖所示為兩者的關係。(a)求變分常數。由此，求一個聯繫x和y的方程。(b)利用(
7、a)部的結果，求當x = 24時y的值。10.設y隨x3正變。當x = 2時，y = 32。(a)求一個聯繫x和y的方程。(b)求當x =時y的值。(c)求當y = 256時x的值。11.已知Q和P的平方成正比，其中P 0。當P = 6時，Q = 12。(a)求一個聯繫P和Q的方程。(b)求當P = 12時Q的值。(c)求當Q = 75時P的值。12.設yx。(a)下列各情況中，求y增加的百分數。(i)x增加30%。(ii)x增至三倍。(b)下列各情況中，求y減少的百分數。(i)x減少26%。(ii)x減至一半。13.已知yx4。(a)若x增加10%，求y的百分數增減。(b)若x減少80%，求
8、y的百分數增減。14.設z和成正比。(a)若u增加33.1%，求z的百分數增減。(b)若u減少65.7%，求z的百分數增減。15.設y2隨x正變。(a)若x增加5%，求y的百分數增減。(b)若x減少70%，求y的百分數增減。（答案須準確至三位有效數字。）16.已知y和(3x + 2)成正比。當x = 2時，y = 8。(a)求一個聯繫x和y的方程。(b)求當x = 11時y的值。(c)求當y = 4x時x的值。17.設y2 (x + 1)，其中x和y都是正數。當x = 9時，y = 90。(a)試以x表示y2。(b)求當x = 15時y的值。(c)y成立嗎？試解釋你的答案。18.一輛小型貨車在
9、某停車場停泊3小時需要$105。小型貨車在該停車場停泊的費用($P)隨其停泊時間（t小時）正變。(a)試以t表示P。(b)若一輛小型貨車在該停車場停泊8小時，其停泊的費用是多少？19.在某網上書店訂購的書本的郵費($S)隨書本的重量(w g)正變。美鈴在該網上書店訂購了一本重350 g的書本，而郵費是$50。(a)試以w表示S。(b)若美鈴在該網上書店訂購另一本重637 g的書本，求她訂購該書本所需付的郵費。20.製造一棵高2 m的人造聖誕樹的成本是$165.2。聖誕樹的成本($C)和其高度(h m)成正比。(a)試以h表示C。(b)若一棵高1.7 m的人造聖誕樹以85%的盈利百分率售出，求該
10、棵聖誕樹的售價。（答案須準確至最接近的元。）21.浩洋用5分鐘打了240字。他所打的字數隨打字的時間正變。浩洋打一篇1200字的文章需要多少時間？22.底半徑為55 mm的圓柱形罐子的容量是330 mL。罐子的容量隨其底半徑的平方正變。若罐子的底半徑減少10%，求罐子的新容量。23.(a)在某工廠，玻璃球的包裝費用($F)隨玻璃球的體積(V cm3)正變。利用變分常數k1，試以V和k1表示F。(b)玻璃球的體積(V cm3)隨玻璃球的半徑(r cm)的立方正變。利用變分常數k2，試以r和k2表示V。(c)利用(a)部和(b)部的結果，證明在該工廠玻璃球的包裝費用($F)隨玻璃球的半徑(r cm
11、)的立方正變。24.某立體的體積隨其高度的立方正變。(a)若該立體的高度增加20%，求其體積增加的百分數。(b)若該立體的體積減少15%，求其高度減少的百分數。（答案須準確至三位有效數字。）25.圖I所示為一個倒置的圓錐ADE。較小的圓錐ABC是圓錐ADE的一部分。已知圓錐ABC的體積(V cm3)隨其高度(h cm)的立方正變。當h = 25時，V = 12 500p。圖I圖IIh cmDEBCA(a)(i)試以h和p表示V。(ii)求當圓錐ABC的體積是21 600pcm3時該圓錐的高度。(b)圖II所示為一個形狀如圓錐ADE的容器。容器内盛有水，且其水深是25 cm。把一個直徑為18 c
12、m的鐵球完全浸入水中，水面會上升多少？（答案須準確至三位有效數字。）9.2 反變已知y隨x反變。下表列出x和y的一些對應值。求a和b的值。x24by10a8解由於y隨x反變，所以，其中k 0。把x = 2和y = 10代入。10=k= 20把x = 4和y = a代入。a= 5把x = b和y = 8代入。8=b= 2.5已知y隨x反變。下表列出x和y的一些對應值。求a和b的值。x35by4a2解已知y和成反比。當x = 1時，y = 9。(a)求變分常數。由此，求一個聯繫x和y的方程。(b)求當y =時x的值。解(a)由於y和成反比，所以y =，其中k 0。把x = 1和y = 9代入y =。9=k= 9 變分常數是9。y =(b)當y =時，= 6x= 36已知y和成反比。當x = 4時，y = 3。(a)求變分常數。由此，求一個聯繫x和y的方程。(b)求當y =時x的值。解已知y和x2成反比。若x增加10%，求y的百分數增減。（答案須準確至三位有效數字。）解由於y和x2成反比，所以y =，其中k 0。x的新值= x(1 + 10%)= 1.1xy的新值=y的百分數增減= -17.4%（準確至三位有效數字）已知y和x2成反比。若x增加15%，求y的百分數增減。（答案須準確至三位有效數字。）解
