从n个不同元素中取出m(m≤n)

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1、学案2 排列与组合,排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，每年高考都有一两个小题出现.主要考查有附加条件的排列与组合的应用题，难度一般不会太大，属于容易或中档题，而且常与概率结合在一起命题.,按照一定的顺序排成一列,全排列,所有不同排列的个数,合成一组,所有不同组,合的个数,n(n-1)(n-2)(n-m+1),(1)解方程: (2)计算：,考点1 有关排列、组合的计算,【分析】利用排列数和组合数公式进行解答.,【解析】（1）由 得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1), 整理得3x2-17x+10=0. 解得x=5或 (舍去). 即原方程的解为x=5.,38-n0 3

2、n38-n n+213n 38-n,3n,21+nN*. 解得 n 且nN*, n=10. ,（2）依题意得,【评析】 （1） 和 中，m,n须满足nm0且m,nN*. （2）在计算组合数、排列数时多用公式的多项式或分式形式，在有关化简或证明题中多用阶乘式.,证明下列恒等式： （1） （2）,证明:（1）证法一：左端= 证法二： 表示从n+1个元素中取m个元素的排列个数，其中不含某元素a1的有 个，含有a1的可这样进行排列：先排a1,有m种排法，再从另外n个元素中取出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上，有 种排法，故含a1的有 种排法.由加法原理知：,（2）由组合数性质知： 左边=右边.,有

3、3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数. （1）选其中5人排成一行； （2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置； （3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头； （4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； （5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起； （6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻； （7）全体排成一行，其中男生不能排在一起； （8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保 持不变； （9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人； （10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人.,考点2 排列问题,【分析】本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型，注

4、意在处理这类问题时一般应遵循：“先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段.,【解析】（1）由排列的定义可知不同排列的种数为 =2 520. （2）首先在中间或两头之一排甲，共有 种方法；其次在所剩的6个位置上对其余6人进行全排列，共有 种方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 =2 160. （3）仿（2）先排甲、乙共 种排法，其余5人尚有 种排法，故共有 =240种不同排法. （4）当乙

5、排在首位时，共有 种排法;当乙不在首位时，先排乙有 种方法，再排甲也有 种方法，最后其余各元素有 种方法，故共有 种不同排法. 所有不同的排列种数为 =3 720.,（5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有 种，又男生的排列有 种，女生的排列有 种，由分步乘法计数原理，所有不同的排列数为 =288. （6）先排男生有 种排法，此三人中间及两端恰有4空供女生排列，有 种排法，从而共有 =144不同的排列. （7）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，故所求不同排列数为 - =4 320. （8）只须在7个位置中选4个位置将女生进行排列，再将3名男生按顺序插入，共有 =840种不同排法.

6、,（9）先选3人排在甲、乙之间，有 种排法，又因甲、乙排列有 种，再将此5人看作一个元素与其余2人进行全排列有 种，故共有 =720种不同排法. （10）前后二排形式变化，顺序之实犹存，其排法仍有 种.,【评析】本题主要考查解排列、组合的一些基本方法.,给定数字0,1,2,3,5,9，每个数字最多用一次. （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个四位奇数？ （3）可以组成多少个四位偶数？,（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有 种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字中任取3个排列，所以可以组成 =300（个）四位数. 解法二：从“元素”考虑，组成的四位

7、数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有 个，无数字0的有 个，所以共组成 + =300（个）四位数.,解法三：间接法，从6个元素中取出4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求.所以共有 - =300（个）四位数. （2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有 种排法，首位数字不能是0，则在余下的4个非0数字中取1个有 种取法，其余两个数位的排法是 ，所以共有 =192（个）四位奇数. （3）解法一：间接法，由（1），（2）知共有300-192=108（个）四位偶数. 解法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时有 个四位偶数，2在个位时，有 个四位偶数，共有

8、+ =108（个）四位偶数.,7名男生和5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种? (1)A,B必须当选; (2)A,B必不当选; (3)A,B不全当选; (4)至少有2名女生当选; (5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.,【分析】 (1)(2)(3)属于组合问题,可用直接法,(4)属于组合问题,可用间接法,(5)属于先选后排问题,应分步完成.,考点3 组合问题,【解析】 (1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选取3人即可, =120种. (2)从除去A,B两人的10人中选5人即可, 有 =25

9、2种. (3)全部选法有 种,A,B全当选有 种, 故A,B不全当选有 - =672种. (4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行. 有 - - =596种选法.,(5)分三步进行: 第一步:选1男1女分别担任两个职务为 ; 第二步:选2男1女补足5人有 种; 第三步:为这3人安排工作有 . 由分步乘法计数原理共有 =12 600种选法.,【评析】在解组合问题时,常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量.如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则.,某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中 (1)某内科医

10、生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法? (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?,【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可, 共有 =816(种). (2)只需从其他18人中选5人即可,共有 =8 568(种). (3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加, 共有 + =6 936(种). (4)解法一(直接法)：至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,所以共有 + + + =14 656(种). 解法二(间接法)：由总数中减去五名

11、都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得 -( + )=14 656(种).,从6名短跑运动员中选出4个人参加4100m的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？,【分析】 此题是有限制条件的排列、组合问题，可从以下三点进行考虑： （1）先考虑特殊元素或先考虑特殊位置； （2）直接解法和间接解法； （3）注意重复与遗漏.,考点4 排列组合的综合应用,【解析】解法一（直接法）：把问题分为三类，甲、乙两人均不参赛，参赛方案种数为 ；甲、乙两人有且只有一人参赛，参赛方案种数为 （4！-3！）；甲、乙两人均参赛，参赛方案种数为 （4！-23!+2!）.因此，所求的参赛方

12、案种数为 + （4！-3！）+（4！-23！+2！）=252. 解法二（间接法）：6人中取4人参赛的种数为 ；去除甲、乙两人至少有1人排在不恰当的位置种数为 ；因为前面把甲、乙两人都排在不恰当的位置种数减去了两次，因此应加上甲、乙两人都排在不恰当位置的种数为 .因此，所求的参赛种数为 - + = 252.,【评析】对于较复杂的排列、组合综合题，往往还要根据受限元素或受限位置进行分类或分步处理，但必须层次清楚，不重不漏，也可以先不考虑受限条件，然后扣除不符合条件的种数.,如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同

13、的涂色方法共有( ) A.288种 B.264种 C.240种 D.168种,【解析】分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A,D,E有A34种方法，再涂点B,C,F有2种方法，故有 2=48（种）方法； 第二类，涂四种颜色，先涂点A,D,E有 种方法，再涂点B,C,F有 种方法，故共有 3 =216（种）方法. 由分类加法计数原理，共有48+216=264（种）不同的涂法. 故应选B.,1.分清问题与元素顺序有关还是无关,是区分排列、组合问题的关键；搞清解决问题的方法需分步还是分类，是统计排列与组合问题总数的依据. 2.直接法与间接法是解排列与组合问题的常用方法;重复和遗漏是分析排列与组合问题时

14、易犯的错误. 3.“先选后排”“插入法”“隔板法”“捆绑法”等是解排列、组合混合问题的特殊思维方法. 4.排列、组合混合应用是本学案难点所在，可从以下几方面破解： （1）领会问题中“事件”的含意. （2）确定是排列问题还是组合问题.,（3）确定计数原理. （4）确定分类、分步标准. 5.计数重复或遗漏的原因在于分类、分步的标准不清，一般来说，应检查分类是否按元素（或特殊元素）的性质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的. 6.画示意图是寻找解题途径的有效手段.,1.对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法： (1)有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置. (2)元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看作是一个整体. (3)元素不相邻的排列，可以制造空档插进去. (4)元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，利用规定顺序的实情求结果.,2.解排列、组合混合题一般是先选元素，后排元素；或充分利用元素的性质进行分类、分步；再利用两个基本原理作最后处理. 3.对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式.处理这类选择题可采用分析答案形式用排除法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误.,祝同学们学习上天天有进步！,