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1、 本科毕业论文题目：数形结合思想在初等数学中的应用 系别： 数学系班级： 数本1201班 姓名： 郑海月 指导教师： 耿彦峰 完成日期： 2016 年 月 日 目录数形结合思想在初等数学中的应用摘要：有史以来，数学就是一门研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，形是数的直观表现。数是形的抽象概括。这两个研究对象是相辅相成的。学生学习数学的素养不仅仅表现在数学知识的或多或少，而是体现在他们能不能够理解数学思想的方法。并熟练的运用于实际问题上。然而数形结合作为数学思想方法之一，渗透和蕴含在数学的知识里，它作用于初等数学的两大主线数和形。在初等数学教学中，要灵活的将数和形完美地统一运用起来，将它们渗
2、透在数形结合思想的方法上，有利于学生学习数学思维的发展。一个人的数学教育目标的最终实现就是体现在数学素养的重要内涵之一。重视数学思想的教和学的方法就是体现现代社会对初等教育的重视，对人才的培养的重视，因此加强数形结合思想方法的教和学就是促进初等数学素养的重要途径。关键词：数形结合思想，小学数学，初中数学，应用 Application of combination of number and shape in Elementary Mathematics摘要：有史以来，数学就是一门研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，形是数的直观表现。数是形的抽象概括。这两个研究对象是相辅相成的。学生学习数学
3、的素养不仅仅表现在数学知识的或多或少，而是体现在他们能不能够理解数学思想的方法。并熟练的运用于实际问题上。然而数形结合作为数学思想方法之一，渗透和蕴含在数学的知识里，它作用于初等数学的两大主线数和形。在初等数学教学中，要灵活的将数和形完美地统一运用起来，将它们渗透在数形结合思想的方法上，有利于学生学习数学思维的发展。一个人的数学教育目标的最终实现就是体现在数学素养的重要内涵之一。重视数学思想的教和学的方法就是体现现代社会对初等教育的重视，对人才的培养的重视，因此加强数形结合思想方法的教和学就是促进初等数学素养的重要途径。Abstract: history, mathematics is a s
4、tudy of the objective world of the number of relations and space form of science, form is the number of intuitive performance. The abstract generalization of the form. The two research objects are complementary. Students learn mathematics literacy not only in more or less mathematical knowledge, but
5、 they can not be reflected in the method of understanding of mathematical thinking. And applied to practical problems. However, as one of the combination of mathematics thinking method, infiltration and contained in the knowledge of mathematics, it functions in elementary mathematics two main line n
6、umber and shape. In elementary mathematics teaching, to the flexibility of the number and shape of perfect unity with it, they will penetrate in Shuoxingjiehe thinking method, is conducive to the development of students mathematical thinking. The final realization of ones goal of mathematics educati
7、on is reflected in one of the important connotation of mathematical literacy. Pay attention to mathematical thinking teaching and learning approach is reflected in modern society, the importance of elementary education, attaches to the cultivation of talents, thus strengthening the number shape comb
8、ination of thought and method of teaching and learning is to promote an important way of elementary mathematics literacy.关键词：数形结合思想，小学数学，初中数学，应用Keywords: thought, combination of number and shape of primary school mathematics, junior high school mathematics application.1.引言1.1背景， 在数学萌芽时期，人类对数形结合的研究早有
9、了研究，数形结合思想是联系数和形研究的重要纽带。数学是以实现世界的数量关系和空间形式的结合作为研究对象，数量关系和空间形式是有联系的，也是可以相互转化的。可以将问题的数量关系和空间形式两者相结合起来一起观察。将问题的数量关系抽象化转化为空间形式的直观现象，也可以将空间形式的直观图转化为数量关系的抽象思维。这种处理问题的思想方法就是数学中的数形结合思想方法。 早在我国宋元朝时，人类就引进了几何问题代数化的方法，运用代数式的方法描述一些特定问题的几何特征，将图形之间的几何关系转化成代数式之间并表达出来的代数关系。在西方国家，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁的建立了数和点之间，与曲线和方程之间的对应关系
10、。即使是在现代的数学教育上数形结合思想的研究也是一条重要的方法原则。1. 数形结合思想的含义与发展2.1 运用数形结合思想的含义 数量关系和空间形式是数学学科中的两大基本要素，如果想学好数学就要掌握好数学规律中数和形的重要联系。数形结合是联系数量关系和空间形式的重要桥梁，数是抽象的，形是直观的。数量的抽象和几何的直观是相辅相成的，“数”转“形”时解题思路清晰，具体实在，又赋予活力。“形”转“数”时内容丰富，解释明了。在解题过程中运用到数形结合思想的方法将有利于拓展学生的解题的思路的方法，并能够强化 学生的逻辑思维能力。在解题的过程中要时时的有意的将数形结合渗透在一起，这样才能大大的提升学生的解
11、决问题和分析问题的能力。2.2数形结合思想的发展 （1）德国思想家弗里德里希冯恩格斯（Friedrich Von Engels，1820年11月28日1895年8月5日）曾对数学给出这样的定义：“数学是研究现实世界数量关系与空间形式的科学”由此可见，数量关系和空间形式是数学中的两大基本研究对象。“数”是数量关系的科学，“形”是空间形式的科学。“数”和“形”是研究数学教育的两大基本支柱，也是研究数形结合思想的两大基本要素。“数”是抽象的，主要提升学生的思维有序能力，符号运算能力。最主要是由思维主导的。“形”是直观的，主要是培养学生的观察能力，逻辑推理能力和直觉能力，最主要是由视觉思维主导的。在早
12、期人类懵懵懂懂的时代就已经具备辨别事物的能力了，他们在打猎和采集过程中能分辨物体的增加和减少，这就是数量上的变化，在他们从数觉到数这一概念演变的过程是缓慢的。因此，俄国学者丹齐克把早期人类的这种识别能力叫做“数觉”。由于人类在生活过程中会出现动物和植树，动，植物的数量表示上涉及到数觉，数量是事物抽象表现出来的，而动，植物是直观看出来的，由此，人类也就慢慢的发现这两者之间是有联系的，是一种无意思的联系和结合。它们是相结合的。随着人类生活生产实践的进一步的发展，人类文明进程的不断进步，数学的内容也不断增多，人类对数的认识也逐渐清晰了，能感觉到有必要用某种形式来对着一个数量进行记录这是事物的某一属性
13、，由此就有了记数这一词。最开始人类用的是对于“形”有着直观表现的手指，石头来记录“数”，对形的这点直觉的表现与数的产生有些相似。数的产生来于记数，是对具体物体“形”的一种记数。数的概念的产生之后，用来表示“数”的工具也就是一些“形”在古代中一些记数中。那些都是用具体的图形表示抽象的数字。尤其是在17-18世纪至19世纪在数学领域内的一些学科和分支的独立。 在这些学科里人类也不断的创造出一些新的学科。比如，古埃及象形数字，巴比伦模形数字，还有中国的算盘。这些都是历史最长远的记数工具，也是体现数形结合的最早最典型的一个实例。“数”源于各种各样的“形”的记数，“数”又辅助于“形”得到记录。2.3早期
14、数形结合思想的发展以几何学为特征的是数学最早的大发展，巴比伦和古埃及的人在生活中的生产和实践中长期积累了很多经验是有关于几何知识的，之后就慢慢的传入了古希腊。在一些学派想尝试将这些知识加以组织的时候，毕达哥拉斯学派的主张“万物皆数”，想尝试把几何建立在算数的基础之上，在他们的长期努力下，最终实现了几何学基础。由此，毕达哥拉斯学派在完全平方数和勾股定理等得到了证明，证明体现出了它们是数与形结合的。随后又有形数，解方程也等到了证明。在很早的古代中国的数学发展历程中发现，也有“数”和“形”结合的一些数学成就。例如 （3）杨辉的三角形面积公式的推论，赵爽的勾股弦图。（1）完全平方数的证明。构造出一个大
15、的正方形和两个小的正方形，大的边长为（a+b），小的边长分别为a,b如图（2-1）。根据面积相等,可以得出大正方形的面积等于S1+S2+S3+S4的总和，则a+b2=a2+b2+ab+ab=a2+b2+2ab。 图2-1 图2-2 (2)勾股定理，勾股定理是一个人类早期发现并得到证明的重要数学定理之一，也是应用最多的定理。它是有西方著名学派毕达哥拉斯学派发现的。后来是由 （2）著名学家普鲁塔克（Plutarch，约公元46年-120年）的面积剖分法得到证明(如图2-2)。面积剖分法是设直角三角形的两条直角边长分别为啊，a,b斜边长为c，以该直角三角形的两条直角边长为基础，作两边长为a+b的正方形，由于两个正方形内各含有四个全等的直角三角形，那么去掉这四个全等的直角三角形后，剩下部分的面积应该是相等的，从而证明了以斜边c为边长的正方形的面积等于以直角边a和b为边长的两个正方形的面积和。它是数学中“数”和“形”最重要联系的第一定理，对数学的发展有着不可小视的影响。勾股定理是以代数的思想与概念对几何问题进行解决的，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现促进人类进行数学几何问题的探索的进步；通过勾股定理，人类
